【網格 dp】A006_LC_鋪瓷磚（三種切分法）

一、Problem

你是一位施工隊的工長，根據設計師的要求準備爲一套設計風格獨特的房子進行室內裝修。

房子的客廳大小爲 n x m，爲保持極簡的風格，需要使用盡可能少的 正方形 瓷磚來鋪蓋地面。假設正方形瓷磚的規格不限，邊長都是整數。

請你幫設計師計算一下，最少需要用到多少塊方形瓷磚？

輸入：n = 11, m = 13
輸出：6

Constraints:

1 <= n <= 13
1 <= m <= 13

二、Solution

方法一：dp

對於面積爲 $i × j$ 的矩形，我們有三種切法：

1. 規則切割之：可豎直切一刀
2. 規則切割之：水平切一刀
3. 不規則切割之：將一個矩形分成 5 塊，中間那塊面積是1 × 1

• 定義狀態：
  • $f[i][j]$ 表示將大小爲 $i × j$ 的矩形鋪滿至少需要的正方形瓷磚數。
• 思考初始化：
  • $i = j，f[i][j] = 1$，面積爲 $i × i$ 的矩形就是正方形，因此只用一塊正方形瓷磚即可鋪滿
  • $i\ != j，f[i][j] = INF$
• 思考狀態轉移方程：
  • 水平切分：$f[i][j] = min(f[i][j], f[q][j] + f[i-q][j])$，$q∈[1, i)$
  • 垂直切分：$f[i][j] = min(f[i][j], f[i][p] + f[i][j-p])$，$p∈[1, j)$
  • 不規則切分：$f[i][j] = min(f[i][j], f[x-1][y] + f[x][j-y] + f[i-x+1][y-1] + f[i-x][j-y+1] + 1)$
• 思考輸出：$f[n][m]$

class Solution {
    public int tilingRectangle(int n, int m) {
        int INF = 0x3f3f3f3f, f[][] = new int[n+5][m+5];

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = i == j ? 1 : INF;
            for (int q = 1; q < i; q++) f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[q][j] + f[i-q][j]);
            for (int p = 1; p < j; p++) f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][p] + f[i][j-p]);
            // 不規則切分
            for (int x = 2; x < i; x++)
            for (int y = 2; y < j; y++)
                 f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[x-1][y] + f[x][j-y] + f[i-x+1][y-1] + f[i-x][j-y+1] + 1);
        }
        return f[n][m];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2 × m^2 )$，
• 空間複雜度：$O(n × m)$，