【區間 dp】A014_LC_安排郵筒（麻煩的邊界）

一、Problem

Given the array houses and an integer k. where houses[i] is the location of the ith house along a street, your task is to allocate k mailboxes in the street.

Return the minimum total distance between each house and its nearest mailbox.

The answer is guaranteed to fit in a 32-bit signed integer.

Input: houses = [1,4,8,10,20], k = 3
Output: 5
Explanation: Allocate mailboxes in position 3, 9 and 20.
Minimum total distance from each houses to nearest mailboxes is |3-1| + |4-3| + |9-8| + |10-9| + |20-20| = 5 

二、Solution

方法一：dp

• 定義狀態：
  • $f[i][j]$ 表示前 $i$ 個房子放 $j$ 個郵箱的最小距離
  • $d[i][j]$ 表示從房子 $i$ 個到房子 $j$ 放一個郵箱的得到的最小距離
• 思考初始化：
  • $f[i][1] = d[0][i]$
• 思考狀態轉移方程：
  • $f[i][j] = min(f[i][j], f[k-1][j-1] + d[k][i]$ 表示前面 $k-1$ 個房間用 $j-1$ 個郵箱照顧，然後區間 $[k, i]$ 這些房間用一個郵箱照顧的最短距離。
• 思考輸出：$f[n-1][K]$

class Solution {
    public int minDistance(int[] h, int K) {
        Arrays.sort(h);
        int n = h.length, INF = 0x3f3f3f3f, f[][] = new int[n][K+1], d[][] = new int[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = i; j < n; j++) {
            int mid = i + j >>> 1;
            for (int k = i; k <= j; k++)
                d[i][j] += Math.abs(h[k] - h[mid]);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 1; j <= K; j++)
            f[i][j] = INF;
            
        for (int i = 0; i < n; i++) f[i][1] = d[0][i];

        for (int i = 1; i < n; i++)
        for (int j = 2; j <= K && j <= i+1; j++)  //j是個數，但i是下標
        for (int k = j-1; k <= i; k++) {  
            f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[k-1][j-1] + d[k][i]); 
        }
        return f[n-1][K];
    }
}

Q1：爲什麼 j <= K && j <= i+1
A1：因爲假如有 i+1 個房屋，那麼對這 i+1 個房屋安排多少個郵箱合適呢（ps：k <= n），基於這個條件，在兩個房間中間位置放置一個郵箱是最優的。

Q2：j 爲什麼從 2 開始？
A2：因爲 0~i 號房間的安排一個郵箱已經有答案了，所以選擇枚舉的是安排 $j$ 個郵箱的最小距離。

Q3：k 爲什麼從 j-1 開始？
A3：這裏考慮的是極限問題：k 枚舉的是最後一個郵箱的覆蓋範圍的起點，那 k 什麼時候覆蓋最多呢？答案是前 $j-1$ 個郵箱各自負責一個房間的時候，最後一個郵箱會覆蓋最多房間。

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n × k )$，
• 空間複雜度：$O(n × k)$，