【區間 dp】A016_NK_善變的同伴（最大的m段字段和問題）

一、Problem

又到了喫午飯的時間，你和你的同伴剛剛研發出了最新的GSS-483型自動打飯機器人，現在你們正在對機器人進行功能測試。

爲了簡化問題，我們假設午飯一共有N個菜，對於第i個菜，你和你的同伴對其定義了一個好喫程度（或難喫程度，如果是負數的話……）A[i]，

由於一些技（經）術（費）限制，機器人一次只能接受一個指令：兩個數L, R——表示機器人將會去打第L~R一共R-L+1個菜。

本着不浪費的原則，你們決定機器人打上來的菜，含着淚也要都喫完，於是你們希望機器人打的菜的好喫程度之和最大

然而，你善變的同伴希望對機器人進行多次測試（實際上可能是爲了多喫到好喫的菜），他想知道機器人打M次菜能達到的最大的好喫程度之和
當然，打過一次的菜是不能再打的，而且你也可以對機器人輸入-1, -1，表示一個菜也不打

輸入描述:

第一行：N, M

第二行：A[1], A[2], …, A[N]

輸出描述:

一個數字S，表示M次打菜的最大好喫程度之和

輸入
7 2
1 2 3 -2 3 -10 3
輸出
10
說明
[1 2 3 -2 3] -10 [3]

備註:

N <= 10^5 = 100000
|A[i]| <= 10^4 = 10000
10%數據M = 1
50%數據M <= 2
80%數據M <= 100
100%數據M <= 10^4 = 10000

二、Solution

方法一：暴力 dp（超時）

• 定義狀態：
  • $f[i][j]$ 表示將前 $j$ 個數分成 $i$ 段的最大子彈和。
• 思考初始化：
  • $f[1...m][1...n] = 0$
• 思考狀態轉移方程：
  • $i = j$，則 $f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[j]$ 表示每個數字都可自己起一段。
  • $i < j$，則分爲兩種情況：
    • 在第 $i$ 段中加入第 $j$ 個數字：$f[i][j] = f[i][j-1] + a[j]$
    • 從前面的 $i-1$ 段中選一段，然後第 $j$ 個數字自己起一段：$f[i][j] = max( f[i-1][k] ) + a[j]$，$k∈ [i-1, j)$，表示第 $j$ 個數字自己起一段。
• 思考輸出：$max(f[m][j])，j∈[m,n]$表示將序列 $[0,j]$ 分爲 $m$ 段，選擇其中最大的一段。

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
    static class Solution {
        void init() {
            Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
            int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt(), a[] = new int[n+1], f[][] = new int[m+1][n+1];
            for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = sc.nextInt();

            for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = i; j <= n; j++) {
                if (i == j) 
                	f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[j];
                else {
                    f[i][j] = f[i][j-1] + a[j];
                    for (int k = i-1; k < j; k++)
                        f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i-1][k] + a[j]);
                }
            }
            int max = 0;
            for (int j = m; j <= n; j++) {
                max = Math.max(max, f[m][j]);
            }
            System.out.println(max);
        }
    }
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
        s.init();
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(m × n^2)$，
• 空間複雜度：$O(m × n)$，

---

方法二：滾動數組優化

複雜度分析

• 時間複雜度：$O()$，
• 空間複雜度：$O()$，

---

• https://blog.csdn.net/qq_22238021/article/details/78863701
• 24贊：https://blog.csdn.net/winter2121/article/details/72848482