【區間 dp】A023_LC_合併石頭的最低成本（窮舉分割點）

一、Problem

有 N 堆石頭排成一排，第 i 堆中有 stones[i] 塊石頭。

每次移動（move）需要將連續的 K 堆石頭合併爲一堆，而這個移動的成本爲這 K 堆石頭的總數。

找出把所有石頭合併成一堆的最低成本。如果不可能，返回 -1 。

Input: stones = [3,2,4,1], K = 2
Output: 20
Explanation: 
We start with [3, 2, 4, 1].
We merge [3, 2] for a cost of 5, and we are left with [5, 4, 1].
We merge [4, 1] for a cost of 5, and we are left with [5, 5].
We merge [5, 5] for a cost of 10, and we are left with [10].
The total cost was 20, and this is the minimum possible.

Note:

1 <= stones.length <= 30
2 <= K <= 30
1 <= stones[i] <= 100

二、Solution

方法一：記憶化搜索

• 定義狀態：
  • $f[i][j][k]$ 表示將區間 $[i, j]$ 中的幾堆石子合併成 $k$ 堆需要的最小代價
• 思考初始化：
  • $f[0:][0:][0:] = INF$
  • $f[i][i][1] = 0$ 石子不用動就可以了…
• 思考狀態轉移方程：
  • 這裏直接寫轉移會比較繁瑣，所以直接講思路：因爲我們不知道合併哪些區間可以使得代價最小，所以我們需要窮舉一下每種大小的區間 len（len = r-l+1）
  • 且在區間 [l, r] 中，我們也不清楚具體要合併哪兩對堆（如果將區間劃分成兩半）所以我們需要枚舉一下切分點 p 在區間 [l, r] 中的位置
  • 切分位置 p 我們知道了，但是我們還不知道要將這兩部分石子合併成幾堆，所以我們還需要枚舉一下石子的對數 $k（k \leqslant r-l+1）$
• 思考輸出：$f[1][n][1]$

class Solution {
    public int mergeStones(int[] a, int K) {
        int n = a.length, INF = 0x3f3f3f3f, s[] = new int[n+1], f[][][] = new int[n+1][n+1][n+1];
        if ((n-1) % (K-1) != 0)
            return -1;
        if (n < 2)
            return 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            Arrays.fill(f[i][j], INF);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            s[i] = s[i-1] + a[i-1];
            f[i][i][1] = 0;
        }

        for (int len = 2; len <= n; len++)
        for (int l = 1; l <= n - len + 1; l++) {
            int r = l + len - 1;
            
            for (int k = 2; k <= len; k++)
            for (int p = l; p < r; p++) {
                f[l][r][k] = Math.min(f[l][r][k], f[l][p][k-1] + f[p+1][r][1]);
            }
            // 由於上面的k是遞增的，所以到達K時，f[l][r][K]一定是最小（最優）此時
            f[l][r][1] = Math.min(f[l][r][1], f[l][r][K] + s[r] - s[l-1]); 
        }
        return f[1][n][1];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^3 × K)$，
• 空間複雜度：$O(n^3)$，