【區間 dp】B018_LC_葉值的最小代價生成樹（枚舉長度 / 單調棧）

一、Problem

給你一個正整數數組 arr，考慮所有滿足以下條件的二叉樹：

• 每個節點都有 0 個或是 2 個子節點
• 數組 arr 中的值與樹的中序遍歷中每個葉節點的值
• 每個非葉節點的值等於其左子樹和右子樹中葉節點的最大值的乘積

在所有這樣的二叉樹中，返回每個非葉節點的值的最小可能總和。這個和的值是一個 32 位整數。

輸入：arr = [6,2,4]
輸出：32
解釋：
有兩種可能的樹，第一種的非葉節點的總和爲 36，第二種非葉節點的總和爲 32。

    24            24
   /  \          /  \
  12   4        6    8
 /  \               / \
6    2             2   4

提示：

2 <= arr.length <= 40
1 <= arr[i] <= 15

答案保證是一個 32 位帶符號整數，即小於 2^31。

二、Solution

方法一：區間 dp

由於給定的數組是葉子結點中序遍歷後的結果，所以如果選定一個位置的值 $v_i（i \geqslant 1）$，那麼 $[0,i)$ 中的結點就是它的左子樹所有葉結點，$(i,n)$ 就是右子樹的所有葉結點的值。

我們可以枚舉每一個小區間，然後基於小區間求出來的每個非葉節點的值的最小可能總和 sum，再求出大區間的 sum

• 定義狀態：
  • $f[i][j]$ 表示從葉結點 $i$ 到葉結點 $j$ 的路徑中，每個非葉節點的值的最小可能總和
• 思考初始化：
  • $f[i][i] = 0$
• 思考狀態轉移方程：
  • $f[i][j] = f[l][m] + f[m+1][r] + max(l, m) × max(m+1,r)$ 表示從結點 $i$ 到 $j$ 的每個非葉結點的值的最小總和 $sum$ 等於 $sum_{l,\ m}$ + $sum_{m+1,\ r}$ 再加上當前這個非葉子結點的值 $（max[l][m] × max[m+1][r]）$
• 思考輸出：$f[0][n-1]$

class Solution {
    public int mctFromLeafValues(int[] a) {
        int n = a.length, f[][] = new int[n][n], max[][] = new int[n][n];
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            int v = a[j];
            for (int i = j; i >= 0; i--) {
                v = Math.max(v, a[i]);
                max[i][j] = v;
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            Arrays.fill(f[i], -1);
            f[i][i] = 0;
        }

        for (int k = 1; k < n; k++)     //k=len
        for (int l = 0; l < n; l++) {
            int r = l + k;
            if (r >= n)
                break;
            for (int m = l; m < r; m++) {
                if (f[l][m] == -1 || f[m+1][r] == -1)
                    continue;
                int v = f[l][m] + f[m+1][r] + max[l][m] * max[m+1][r];
                if (f[l][r] == -1 || f[l][r] > v)
                    f[l][r] = v;
            }
        }
        return f[0][n-1];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^3)$，
• 空間複雜度：$O(n^2)$，

---

方法二：單調棧優化

代辦吧…

複雜度分析

• 時間複雜度：$O()$，
• 空間複雜度：$O()$，