【區間 dp】B010_LC_最長迴文子串（暴力 / dp / 中心擴展（代辦)）

一、Problem

Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

輸入："aacdefcaa"
預期："aa"

二、Solution

方法一：暴力

• 不用先取子串，可以利用 s 的字符串數組根據索引進行全局比較
• 取子串的話會超時的。

class Solution {
    char[] cs;
    public String longestPalindrome(String s) {
        if (s.length() == 1)
            return s;
        String res = "";
        cs = s.toCharArray();
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) 
        for (int j = i; j < s.length(); j++) {
            if (is(i, j) && j-i+1 > max) {
                res = s.substring(i, j+1);
                max = j-i+1;
            }
        }
        return res;
    }
    boolean is(int l, int r) {
        while (l < r) {
            if (cs[l] != cs[r])
                return false;
            l++; r--;
        }
        return true;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^3)$，
• 空間複雜度：$O(1)$，

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方法二：轉化爲 LMS 問題

從迴文串的性質出發，將問題轉化爲求解最長公共子串問題：

• 定義狀態：
  • $dp[i][j]$ 表示以 $s1[i]$ 開始和以 $s[j]$ 結束的迴文子串的長度。
• 思考初始化：
  • $dp[i][i] = 1$ 單個字符 LMS 長度爲 1
• 思考狀態轉移方程：
  • 如果 $s1[i] = s[j]$，可推出 $dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1$
  • 否則，$dp[i][j] = 0$
• 思考輸出：$max(dp[0...n[0...n])$

還是 99 / 103 WA 了？這確實打臉…

"aacdefcaa"
輸出："aac"
預期："aa"

class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
		char s1[] = s.toCharArray(), s2[] = new StringBuilder(s).reverse().toString().toCharArray();
		int max = 0, e = 0, n = s1.length, dp[][] = new int[n+1][n+1];
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            dp[i][i] = 1;

		for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (s1[i-1] == s2[j-1])	{
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                if (dp[i][j] > max) {
                    max = dp[i][j];
                    e = i;
                }
            } else dp[i][j] = 0;
		}
		return s.substring(e-max, e);
    }
}

方法三：dp

• 定義狀態：
  • $dp[l][r]$ 的真值表示子串 $s[l:r]$ 是否爲迴文子串
• 思考初始化：
  • $dp[i][i] = true$
• 思考狀態轉移方程：
  • 如果 $s[l] = s[r]$，此時會有兩種情況出現：
    • 如果 $[l, r]$ 中間沒有字符，那麼 $dp[l][r] = true$
    • 如果 $[l, r]$ 中間存在字符，那麼 $dp[l][r] = dp[l+1][r-1]$

class Solution {
    public String longestPalindrome(String S) {
		char[] s = S.toCharArray();
		int max = 0, s = 0, n = s.length;
        boolean[][] dp = new boolean[n][n];
        
		for (int r = 0; r < n; r++)
		for (int l = 0; l <= r; l++) {
            if (s[l] == s[r] && (r - l < 2 || dp[l+1][r-1])) {
                dp[l][r] = true;
                if (r - l + 1 > max){
                    max = r-l+1;
                    s = l;
                }
            }
		}
		return S.substring(s, s+max);
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2)$，
• 空間複雜度：$O(n^2)$，

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還有啥中心擴展，代辦把