【區間 dp】B021_LC_分隔數組以得到最大和（預處理區間最大值 / 優化）

一、Problem

給出整數數組 A，將該數組分隔爲長度最多爲 K 的幾個（連續）子數組。分隔完成後，每個子數組的中的值都會變爲該子數組中的最大值。

返回給定數組完成分隔後的最大和。

輸入：A = [1,15,7,9,2,5,10], K = 3
輸出：84
解釋：A 變爲 [15,15,15,9,10,10,10]

提示：

1 <= K <= A.length <= 500
0 <= A[i] <= 10^6

二、Solution

方法一：預處理區間最大值

這題我一看兩個條件，就連想到的二維 dp，即 $f[i][j]$ 表示將前 $i$ 個元素分成長度爲 $j$ 的 i/j 個子數組時的最大和，最後返回 $f[n][K]$，但這可以優化成一維，爲什麼？因爲我們並不關心它具體分成幾個子數組，最終都會轉移到 f[i][j] 上

• 定義狀態：
  • $f[i]$ 序列 $A[0:i]$ 的分成最多 k 個子數組的最大和
• 思考初始化：
  • $f[0...n-1] = 0$
• 思考狀態轉移方程：
  • $f[i] = max(f[i],\ f[i-j] + max[i-j][i-1] × j)$ 子數組 $A[0:i]$ 的最大和由兩部分組成，一是子數組 $A[0:i-j]$ 的最大和，二是 $A[i-j:i]$ 的最大得分組成；而第二部分是未知的，所以第二部分只能通過枚舉且取其中的最大和
• 思考輸出：$f[n]$

class Solution {
    public int maxSumAfterPartitioning(int[] A, int K) {
    	int n = A.length, f[] = new int[n+1], g[][] = new int[n][n];
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		g[i][i] = A[i];
    		for (int j = i+1; j < n; j++)
    			g[i][j] = Math.max(g[i][j-1], A[j]);
    	}

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= i && j <= K; j++) {
        	f[i] = Math.max(f[i], f[i-j] + g[i-j][i-1] * j);
        }
    	return f[n];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2)$，
• 空間複雜度：$O(n^2)$，

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方法二：優化

代辦…

複雜度分析

• 時間複雜度：$O()$，
• 空間複雜度：$O()$，