【區間 dp】B024_LC_最長等差數列（unordered_map + dp）

一、Problem

給定一個整數數組 A，返回 A 中最長等差子序列的長度。

回想一下，A 的子序列是列表 A[i_1], A[i_2], …, A[i_k] 其中 0 <= i_1 < i_2 < … < i_k <= A.length - 1。並且如果 B[i+1] - B[i]( 0 <= i < B.length - 1) 的值都相同，那麼序列 B 是等差的。

輸入：[20,1,15,3,10,5,8]
輸出：4
解釋：
最長的等差子序列是 [20,15,10,5]。

提示：

2 <= A.length <= 2000
0 <= A[i] <= 10000

二、Solution

方法一：dp

• 定義狀態：
  • $f[i][d]$ 表示數組區間 $[0, i]$ 中，公差爲 d 的最長等差數列長度
• 思考初始化：
  • $f[0:][0:] = 0$
• 思考狀態轉移方程：
  • 如果 $A[i] - A[j] = d，f[j][d] != 0$，則有 $f[i][d] = f[j][d] + 1$
  • 否則，$f[i][d] = 2$
• 思考輸出：$max(f[0:][0:])$

ps：這裏我直接用 C++ 寫的，C++ 有運算符重載真的很方便，大愛 C++，如果不用 map，那麼就要根據數據範圍將公差爲負數的情況轉爲正數，再做狀態轉移

class Solution {
public:
    int longestArithSeqLength(vector<int>& A) {
    	int n = A.size(), ans = 1;
    	vector<unordered_map<int,int>> f(n); 
        
    	for (int i = 1; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < i; j++) {
			int d = A[i] - A[j];
			if (f[j][d]) f[i][d] = f[j][d] + 1;
			else 		 f[i][d] = 2;
			ans = max(ans, f[i][d]);
		}
		return ans;
    }
};

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，