【PKUWC2018】随机游走【Min-Max容斥】【树形dp】【FWT】

题意：给一棵$n$个点的无权树和$x$，$q$次询问，每次给定一个点集$S$,询问从$x$开始每次随机走一步，$S$中的每个点至少被经过一次的期望步数。

$n\leq 18,q\leq 5000$

题目求的相当于是$S$中的所有点 第一次被访问的时间 的最大值 的期望，发现$n$很小，可以Min-Max容斥成第一次到$S$ 中任意一个点的期望时间。

然后考虑 dp。设$x$为根，$f_u$表示从$u$开始到$S$中任意一个点的期望时间。

$f_u=\frac{1}{deg_u}(f_{fa_u}+\sum _{v\in son_u}f_v)+1$

$deg_u\cdot f_u=f_{fa_u}+\sum _{v\in son_u}f_v+deg_u$

一个套路，待定系数法设$f_u=k_uf_{fa_u}+b_u$

$deg_u\cdot f_u=f_{fa_u}+\sum _{v\in son_u}(k_vf_u+b_v)+deg_u$

$(deg_u-\sum k_v+1)\cdot f_u=f_{fa_u}+\sum b_v+deg_u$

解得

$k_v=\frac{1}{deg_u-\sum k_v+1}$

$b_v=\frac{\sum b_v+deg_u}{deg_u-\sum k_v+1}$

如果$u\in S$，有$f_u=0$，对它的父亲没有贡献，直接$k_u=b_u=0$

$S$的答案就是$f_x=b_x$，乘上容斥系数再FWT一下就可以快速回答询问

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <vector>
using namespace std;
const int MOD=998244353;
typedef long long ll;
inline int qpow(int a,int p)
{
	int ans=1;
	while (p)
	{
		if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;
		a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;
	}
	return ans;
}
#define inv(x) qpow(x,MOD-2)
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;}
int k[20],b[20];
vector<int> e[20];
void dfs(int u,int f,int S)
{
	if (S&(1<<u)) return (void)(k[u]=b[u]=0);
	int sumk=0,sumb=0;
	for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)
		if (e[u][i]!=f)
			dfs(e[u][i],u,S),sumk=add(sumk,k[e[u][i]]),sumb=add(sumb,b[e[u][i]]);
	k[u]=inv(dec((int)e[u].size(),sumk)),b[u]=((ll)e[u].size()+sumb)*k[u]%MOD;
}
int f[1<<20];
int main()
{
	int n,q,x;
	scanf("%d%d%d",&n,&q,&x);
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);
	}
	for (int S=1;S<(1<<n);S++)
	{
		dfs(x,0,S<<1);
		f[S]=b[x];
		int c=0;
		for (int i=0;i<n;i++) c^=(S>>i)&1;
		if (!c) f[S]=dec(0,f[S]);
	}
	for (int l=0;l<n;l++)
	{
		int mid=1<<l,len=mid<<1;
		for (int s=0;s<(1<<n);s+=len)
			for (int k=0;k<mid;k++)
				f[s+mid+k]=add(f[s+mid+k],f[s+k]);
	}
	while (q--)
	{
		int S=0;
		int k;
		scanf("%d",&k);
		for (int i=1;i<=k;i++)
		{
			int x;
			scanf("%d",&x);
			S|=1<<x;
		}
		printf("%d\n",f[S>>1]);
	}
	return 0;
}