【ARC103D】Distance Sums【樹論】【構造】

題意：一棵$n$個點的無權樹，給定每個點$i$到其他所有點的距離之和$d_i$，保證$d_i$兩兩不同。構造或判斷無法構造一棵滿足條件的樹。

$n\leq 10^5$

首先對於非根結點$u$，有

$d_u=d_{fa_u}-siz_u+(n-siz_u)$

所以$d$最大的一定是葉子結點

把$d$從大到小排序，然後用上面的式子依次找到每個點的父親，如果沒有找到輸出無解。

注意並不是由兒子的$d$來確定它的父親是誰，它的父親以及$d$值是早就定好了的，你只是把它找出來。這個式子是計算式而不是決定式。

因爲$d$值是唯一的，所以這個過程是確定的，如果有解的話一定可以確定出來。

注意構造出來了不一定代表有解，如果把$d$看成$n$個變量，而$n-1$條邊只能確定$d$之間的關係。所以需要判斷一個點算出的$d$是否是真正的$d$，直接把$siz$加起來就是$d_{root}$，判一下即可。

複雜度$O(n\log n)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <utility>
#define MAXN 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int> pi;
ll read()
{
	ll ans=0;
	char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
pi p[MAXN];
int siz[MAXN],fa[MAXN];
ll d[MAXN];
int main()
{
	int n=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=make_pair(read(),i),siz[i]=1;
	sort(p+1,p+n+1);
	ll sum=0;
	for (int i=n;i>1;i--)
	{
		ll t=p[i].first-n+2*siz[p[i].second];
		int k=lower_bound(p+1,p+n+1,make_pair(t,0))-p;
		if (p[k].first!=t) return puts("-1"),0;
		fa[p[i].second]=p[k].second,siz[p[k].second]+=siz[p[i].second];
		sum+=siz[p[i].second];
	}
	if (sum!=p[1].first) return puts("-1"),0;
	for (int i=1;i<=n;i++) if (fa[i]) printf("%d %d\n",fa[i],i);
	return 0;
}