幾個冷門字符串算法的學習筆記（最小表示法，exKMP，Lyndon Word）

所有下標均從1開始

最小表示法

給定一個串，求字典序最小的循環同構。

我們把串複製一遍接在後面，然後求出$[1,N]$開始的長爲$N$的子串中最小的

先設$i=1,j=2$

然後暴力找出$i$和$j$往後匹配的第一個不同的位置，記爲$i+k$和$j+k$

如果$S_{i+k}<S_{j+k}$,說明$i$比$j$優，所以$j$不是最優解；然後發現$i+1$比$j+1$優，所以$j+1$不是最優解……這樣可以讓$j$直接跳到$j+k+1$。

$S_{i+k}>S_{j+k}$同理

如果$i=j$，隨便讓一個$+1$即可

兩個指針都不能超過$N$，一個超過之後另一個就是答案

因爲所有位置都會被遍歷，而最優解一定不會被丟掉，所以正確性可以保證。

複雜度顯然是$O(N)$

模板題

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
char s[10005];
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		scanf("%s",s);
		int n=strlen(s);
		int i=0,j=1;
		while (i<n&&j<n)
			for (int k=0;;k++)
			{
				if (s[(i+k)%n]!=s[(j+k)%n])
				{
					if (s[(i+k)%n]>s[(j+k)%n])
						i+=k+1;
					else 
						j+=k+1;
					if (i==j) j++;
					break;
				}
				if (k==n) goto end;
			}
		end:
		printf("%d\n",min(i,j)+1);
	}
	return 0;
}

(遠古代碼，和上面講的略有不同，僅供參考)

擴展KMP

官方名稱應該叫Z算法，不知道爲啥傳到國內就變成擴展KMP了

但實際上思想和manacher很像所以應該叫擴展馬拉車

解決的問題是給兩個串$S,T$,求 $T$的每個後綴和$S$ 的最長公共前綴

先把$S$接在$T$後面，中間加個#之類的東西 把這個串記爲$A$

然後設$p_i$表示$A$的從$i$開始的後綴和$T$（也可以是$A$）的最長公共前綴

並且設公共前綴擴展到的最右位置爲$mx$,取到這個最大值的$i$爲$x$

然後$i$從$2$開始遍歷（因爲$p_1$沒有意義還會把算法搞砸）

如果$i<mx$

因爲上下橙色位置相同，所以$p_i=p_{i-x+1}$，當然要和$mx-i+1$取$\min$

如果$i \geq mx$，不管

然後暴力擴展，更新$mx$,沒了

複雜度顯然$O(|S|+|T|)$

模板題

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#define MAXN 200005
using namespace std;
char s[MAXN],t[MAXN];
int p[MAXN];
int main()
{
	scanf("%s%s",t+1,s+1);
	int m=strlen(s+1);
	strcat(s+1,"#");
	strcat(s+1,t+1);
	int n=strlen(s+1);
	for (int i=2,x=0,mx=0;i<=n;i++)
	{
		p[i]=i<=mx? min(p[i-x+1],mx-i+1):0;
		while (s[i+p[i]]==s[p[i]+1]) ++p[i];
		if (i+p[i]-1>mx) x=i,mx=i+p[i]-1;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (s[i]=='#') puts("");
		else printf("%d ",i>1? p[i]:m);
	return 0;
}

Lyndon Word

定義：一個串是Lyndon Word（以下簡稱LW），當且僅當它本身是自己字典序最小的後綴

下文字符串的比較均爲字典序，+爲字符串拼接

性質1 兩個LW $u,v$,如果$u<v$,那麼$u+v$是LW

對於$v$的後綴，它比$v$大，所以一定不是最小的；

對於$v$,因爲$u<v$,所以$u+v<v$

對於$(u的後綴)+v$,因爲$u<(u的後綴)$,所以$u+v<(u的後綴)+v$

所以$u+v$是最小的

所以LW可以遞歸定義：

1. 單個字符是LW
2. 多個字典序遞增的LW順次拼接後是LW

性質2 LW的前綴仍是LW

考慮將原串不斷丟掉最後的字符 那麼會產生一個空後綴，將它刪掉

然後前面的後綴相對大小不會變，所以仍然是LW

性質3 一個LW將最後一個字符變大後仍是LW

只有最後一個只包含一個字符的後綴變大，前面大小關係不變

性質4 任意字符串$S$存在且僅存在一種分解方式$S=s_1+s_2+...+s_n$,使得所有$s_i$均爲LW且單調不增

證明是不可能的，這輩子都是不可能的

把性質4中的分解稱爲Lyndon分解

接下來要講的就是線性求Lyndon分解的Duval算法

首先三個指針$i,j,k$，表示$i$以前的分解已經固定,現在處理第$k$個字符,$j$一會兒說

即$[1,i)$爲$s_1+s_2+...+s_n$,其中$s_i$爲LW且單調不增

$[i,k)$爲$t+t+...+t+t_1$,其中$t$是LW，$t_1$是$t$的可空前綴

也就是一個LW不斷循環，最後一個循環節可以不完整

別問爲啥，問就是歸納法

現在把$S_k$加在後面，如果要繼續循環，應該加的是$S_{k-循環節長度}$，我們把這個$k$應該跟的位置記爲$j$

如果$S_j==S_k$，說明循環正常，繼續往後

如果$S_j<S_k$，根據性質3，最後一個不完整的循環節$t_1$加上$S_k$是個LW並且比前面的$t$都大，不斷向前合併發現整段都是LW。所以將$[i,k]$一長串合併成新的$t$，即令$j=i$

如果$S_j>S_k$ 不管$t_1$和$S_k$大小關係，反正後面怎麼加怎麼都會小於$t$,所以沒$t$啥事了，把所有$t$固定下來

模板題

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#define MAXN (1<<20)+5
using namespace std;
char s[MAXN];
int main()
{
	scanf("%s",s+1);
	int n=strlen(s+1);
	for (int i=1;i<=n;)
	{
		int j=i,k=i+1;
		while (s[j]<=s[k])
		{
			if (s[j]==s[k]) ++j;
			else j=i;
			++k;
		}
		while (i<=j)
		{
			printf("%d ",i+k-j-1);
			i+=k-j;
		}
	}
	return 0;
}

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