杭電 ACM 1007

先說下題意，很簡單，給n個點的座標，求距離最近的一對點之間距離的一半。

第一行是一個數n表示有n個點，接下來n行是n個點的x座標和y座標。實數。

 

這個題目其實就是求最近點對的距離。《算法導論》上有詳細講解，王曉東的書上也有代碼。主要思想就是分治。先把n個點按x座標排序，然後求左邊n/2個和右邊n/2個的最近距離，最後合併。

合併要重點說一下，比較麻煩。

 

首先，假設點是n個，編號爲1到n。我們要分治求，則找一箇中間的編號m，先求出1到m點的最近距離設爲d1，還有m+1到n的最近距離設爲d2。這裏的點需要按x座標的順序排好，並且假設這些點中，沒有2點在同一個位置。（若有，則直接最小距離爲0了）。

 

然後，令d爲d1, d2中較小的那個點。如果說最近點對中的兩點都在1-m集合中，或者m+1到n集合中，則d就是最小距離了。但是還有可能的是最近點對中的兩點分屬這兩個集合，所以我們必須先檢測一下這種情況是否會存在，若存在，則把這個最近點對的距離記錄下來，去更新d。這樣我們就可以得道最小的距離d了。

 

關鍵是要去檢測最近點對，理論上每個點都要和對面集合的點匹配一次，那效率還是不能滿足我們的要求。所以這裏要優化。怎麼優化呢？考慮一下，假如以我們所選的分割點m爲界，如果某一點的橫座標到點m的橫座標的絕對值超過d1並且超過d2，那麼這個點到m點的距離必然超過d1和d2中的小者，所以這個點到對方集合的任意點的距離必然不是所有點中最小的。

 

 

所以我們先把在m爲界左右一個範圍內的點全部篩選出來，放到一個集合裏。

篩選好以後，當然可以把這些點兩兩求距離去更新d了，不過這樣還是很慢，萬一滿足條件的點很多呢。這裏還得繼續優化。首先把這些點按y座標排序。假設排序好以後有p個點，編號爲1到p。那麼我們用1號去和2到p號的點求一下距離，然後2號和3到p號的點求一下距離。。。還沒完，因爲這樣比，求的次數還是O(p^2), 所以其實和沒優化沒區別。

 

假設有一個點q,座標是xq, yq。可以證明在以q爲底邊中點，長爲2d，寬爲d的矩形區域內不會有超過6個點。具體證明過程可以參看算法導論。

利用這個結論我們就可以來繼續優化比較的過程了。剛剛我們是用用1號點去和2到p號的點求一下距離，我們知道以1號點構造圖中矩形內，不會有超過6個點存在。但是我們又不能直接從1號求到6號，因爲這裏的p個點是按y座標排序而不是按距離排序的，有可能在y座標上，前10個點距離1號點都很近，但是前6個點的x座標很遠，而第10個點的x座標和1號點的x座標很進，這樣第10個點到1號點的距離反而更近。

那麼我們怎麼利用這個結論呢？應該這樣，假設1號點和2到p號點比較，由於y座標排序的緣故，假設第p個點的y座標距離1號點的y座標大於當前能求出的最小值，那麼這點以及這點後的所有點距離1號點的距離必然大於當前已經獲得的最小值，所以直接不用比較後面的了。
又因爲滿足比較條件的點很少，不會超過6個，所以這裏可以看成O(1)的效率。那麼整個算法的效率大概是在O(nlogn)，非常快！

 

 

源代碼(1):

/*分治算法求最小點對*/
/*AC代碼：828ms*/
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005
//#define min(a,b) (a<b?a:b)//爲什麼用這個就超時！！！
using namespace std;
struct Point
{
    double x,y;
};
struct Point point[MAXN],*px[MAXN],*py[MAXN];
double get_dis(Point *p1,Point *p2)
{
    return sqrt((p1->x-p2->x)*(p1->x-p2->x)+(p1->y-p2->y)*(p1->y-p2->y));
}
bool cmpx(Point *p1,Point *p2) {return p1->x<p2->x;}
bool cmpy(Point *p1,Point *p2) {return p1->y<p2->y;}
double min(double a,double b){return a<b?a:b;}
//-------核心代碼------------//
double closest(int s,int e)
{
    if(s+1==e)
        return get_dis(px[s],px[e]);
    if(s+2==e)
        return min(get_dis(px[s],px[s+1]),min(get_dis(px[s+1],px[e]),get_dis(px[s],px[e])));
    int mid=(s+e)>>1;
    double ans=min(closest(s,mid),closest(mid+1,e));//遞歸求解
    int i,j,cnt=0;
    for(i=s;i<=e;i++)//把x座標在px[mid].x-ans~px[mid].x+ans範圍內的點取出來
    {
        if(px[i]->x>=px[mid]->x-ans&&px[i]->x<=px[mid]->x+ans)
            py[cnt++]=px[i];
    }
    sort(py,py+cnt,cmpy);//按y座標排序
    for(i=0;i<cnt;i++)
    {
        for(j=i+1;j<cnt;j++)//py數組中的點是按照y座標升序的
        {
            if(py[j]->y-py[i]->y>=ans)
                break;
            ans=min(ans,get_dis(py[i],py[j]));
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int i,n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(n==0)
            break;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%lf%lf",&point[i].x,&point[i].y);
            px[i]=&point[i];
        }
        sort(px,px+n,cmpx);
        //for(i=0;i<n;i++)
        // printf("(%.2lf,%.2lf)--",px[i].x,px[i].y);
        double distance=closest(0,n-1);
        printf("%.2lf\n",distance/2);
    }
    return 0;
}

 

 

 

參考網上思路，由於這題數據比較弱，（是網上說的，不過確實很弱）。可以以一種投機取巧的枚舉水過。。。

具體方法：對點進行x軸排序，這樣，可以知道最短的距離最有可能出現的是在兩個相鄰的點之間（但不一定），所以我枚舉了離當前點距離（只看x軸）最近的50個點，這樣，最短距離一般就在裏面了。但是更讓人喫驚的是，這題數據弱到，只要對x軸排序，枚舉相鄰3個點就可以A掉。。。。囧。。。。。

http://hi.baidu.com/yzy%D1%EE%D7%D3%D1%DC/blog/item/4b4da1ece0365a4379f05571.html

 

 

 

 

源代碼(2):

/*最近點對(枚舉)*/
/*AC代碼：609ms*/
#include <iostream>
#include <cmath>
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define MAXN 100005
#define INF 99999999
#define step 2
struct point
{
    double x,y;
};
struct point ps[MAXN];
double ansr;
int N;
int cmp1(const void *p1,const void *p2)
{
    if(((struct point *)p1)->x!=((struct point *)p2)->x)
        return ((struct point *)p1)->x>((struct point *)p2)->x?1:-1;
    return ((struct point *)p1)->y>((struct point *)p2)->y?1:-1;
}
int cmp2(const void *p1,const void *p2)
{
    if(((struct point *)p1)->y!=((struct point *)p2)->y)
        return ((struct point *)p1)->y>((struct point *)p2)->y?1:-1;
    return ((struct point *)p1)->x>((struct point *)p2)->x?1:-1;
}
double get_dis(point p1,point p2)
{
    return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));
}
void work()
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=N;i++)
        for(j=i+1;j<=N&&j<=i+step;j++)
            ansr=min(ansr,get_dis(ps[i],ps[j]));
}
int main()
{
    int i;
    while(scanf("%d",&N)!=EOF)
    {
        if(N==0)
            break;
        for(i=1;i<=N;i++)
            scanf("%lf%lf",&ps[i].x,&ps[i].y);
        ansr=INF;
        qsort(ps+1,N,sizeof(ps[0]),cmp1);
        work();
        //qsort(ps+1,N,sizeof(ps[0]),cmp2);
        //work();
        printf("%.2lf\n",ansr/2);
    }
    return 0;
}

 

 

P.S：這裏還有一個非常令人費解的問題，CODE（1）裏爲什麼我用，#define min(a,b) (a<b?a:b)會超時，而改成

double min(double a,double b){return a<b?a:b;}就AC

原文地址：http://blog.csdn.net/allenjy123/article/details/6627751