商務統計_8 數值描述度量 - 集中趨勢

目錄

• 集中趨勢
  • 衆數$M_o$
  • 中位數$M_e$
  • 均值（算術、加權、幾何$\bar{x}_G$、切尾）
  • 衆數 & 中位數 & 均值的關係

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頻數分佈僅對數據作了簡單的概括，丟失了大量信息。統計圖能直觀展示數據，但需要更有說服力的信息支持，因此需要更多的統計方法。

集中趨勢

1.衆數（單衆、雙衆、多衆、無衆）

一組數據中出現次數最多的變量值，用$M_o$表示。
通常用來近似反映社會經濟現象的一般水平。如某次考試成績最集中的水平、城鎮居民最普遍的生活水平、當前最流行的潮流等。

計算衆數

• 未分組數據 & 分類頻數分佈表
  排序、觀察/統計出現次數量最多的
• 分組頻數分佈表
  常用的兩種計算方法：
  • $M_o = \frac{L + U}{2}，L爲衆數所在組下限，U爲上限$。
  • $M_o = L + \frac{f_m - f_{m-1}}{(f_m - f_{m-1}) + (f_m - f_{m+1})} * i$$i爲組距，f_m爲衆數所在組頻數，f_{m-1}爲上一組頻數，f_{m+1}爲下一組頻數$。

說明：

• 衆數是唯一可以研究分類數據集中趨勢的統計量
• 主要用於分類數據，如國家的個人所得稅的徵收政策制定、房地產的房屋格局規劃、農貿市場商品價格等
• 衆數能傳遞的信息量非常有限，比如通過衆數可了知道一個值出現的次數最多，但多的程度無法知道（在衆數眼裏，100：1 & 100：99是一樣的）
• 適合數據較多時使用
• 圖表中容易獲取變量的衆數

2.中位數

一組數據排序後，中間的那個值，用$M_e$表示。

• 未分組數據 & 分類頻數分佈表
  先排序，然後計算中位數的位置：$\frac{n+1}{2}$。
  eg.已知一個班級的年齡頻數分佈表如下，計算中位數：
  
  $M_e的位置=\frac{50+1}{2}=25.5$
  觀察累計次數可知中位數$M_e=19$.
• 分組頻數分佈表
  常用的一種估算方式：$M_e=L+\frac{\frac{n}{2}-F}{f_m};$$L爲中位數組下限，n爲總頻數，F爲中位數所在組以上各組累計頻數，f_m爲中位數所在組的頻數，i爲組距。$
  eg.
  
  $M_e=100+\frac{\frac{30}{2}-10}{13}*10=103.8$

說明：

• 唯一，每組數據只有一個
• 計算量小，相對於平均值 & 衆數
• 穩定，不易受極端值影響：
  • 當一組數據分佈不對稱時，使用中位數更恰當
  • 當一組數據中大量重複某一值時，中位數不一定準確
  • 對極端值不敏感，有時是缺點
• 中位數與數值之差的絕對值之和最小（$\displaystyle\sum^{n}_{i\to0}|xi-M_e|$）
• 除了中間值，未用到其它值
• 不能用於定類數據

3.平均值

3.1 簡單算術平均

通常說的均值，$均值=\frac{一組數據中所有數值之和}{數值總數}$。
- 總體均值
$μ=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N}=\frac{1}{N}\displaystyle\sum^{N}_{i=1}{x_i}$
- 樣本均值
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum^{n}_{i=1}{x_i}$

說明

• 最常用的反映集中程度的測試值
• 唯一，一組數據只有一個
• 利用了所有觀測值，相比於衆數、中位數會獲得更多信息。
• 易受極端值影響
• 只能用於定距、定比數據
• 數學性質
  • 各變量值與平均值的離差之和爲0
    $\displaystyle\sum^{n}_{i\to0}{(x_i-\bar{x})}$
  • 各變量值與平均值的離差平方和等於最小值
    $\displaystyle\sum^{n}_{i\to0}{(x_i-\bar{x})^2}$

3.2 加權算術平均

據分組整理的數據來計算平均值。

• 分類頻數分佈表
  $加權算術平均=\frac{\sum各組變量值*頻數}{\sum頻數}$
• 分組頻數分佈表
  $加權算術平均=\frac{\sum各組組中值*頻數}{\sum頻數}$

說明：

• 簡單算術平均值是加權算術平均值的一個特例，當各組權數相等時。
• 當變量值較大，頻數較大時，加權平均值較大；反之，加權平均值較小。算術平均值只與變量值的大小有關，加權算術平均值與變量值的大小、變量值出現的次數都有關。

3.3 幾何平均

n個變量值累乘的n次方根，表示爲$\bar{X}_G$。
應用於求解平均比率和平均速度。
據掌握的數據不同分爲：

• 簡單幾何平均
  據未分組的數據計算幾何平均數：$\bar{X}_G=\sqrt[n]{\displaystyle\prod^{n}_{i\to0}{x_i}}$
  eg.某產品需要經過6道工序，每道工序的合格率爲98%、91%、93%、98%、98%、91%，求6道工序的平均合格率：
  $\bar{X}_G=\sqrt[6]{98\%*91\%*93\%*98\%*98\%*91\%}$
• 加權幾何平均
  據頻數分佈表計算幾何平均數：$\bar{X}_G=\sqrt[\sum{f}]{\displaystyle\prod^{n}_{i\to0}{x_i^{f_i}}}$
  eg.
  
  
  最後還原加權幾何平均增長率：109.45% - 100% = 9.45%。

3.4 切尾平均

去除兩端極值後的算術平均值。
$\bar{x}=\frac{x_{(na+1)}+x_{(na+2)}+...+x_{(n-na)}}{n-2na};n爲觀察值個數，a∈[0, \frac{1}{2})$

• 當a=0，切尾均值=算術均值
• 當a=1/2，切尾均值=$M_e$

說明：

• 綜合了均值 & 中位數的優點，廣泛應用於體育比賽、電視獎賽等需要進行綜合評估的競賽項目。

4.衆數、中位數和平均值的關係

對於單峯的、對稱的分佈來說，衆數=中位數=均值，即$M_o=M_e=\bar{x}$。

如果數據屬於偏態分佈：

• 正偏（右偏）
  數據集中在左邊，但它有少量的極大值，使得右邊拖着長長的尾巴。
  極大值拉動均值右移，使均值最大；而數據集中在左邊，使衆數最小，即$M_o<Me<\bar{x}$。
  
• 負偏（左偏）
  數據集中在右側，但有少量的極小值，使得左側拖着長長的尾巴。
  極小值拉動均值左移，使得均值最小；數據集中在右側，使得衆數最大，即$\bar{x}<M_e<M_o$。
  
  說明：
• 衆數，一組數據分佈的峯值，位置代表值。衆數可以有0個、1個、2個、多個。
  • 優：易於理解，不受極端值影響。當數據具有明顯集中趨勢（特別是偏態），代表性優於算術平均數。
• 中位數，一組數據中間位置上的值，位置代表值。
  • 優：不受極值影響。偏態分佈時，代表性優於算術平均值。
• 算術平均數，由全部數據計算而得，具有良好的數學性質，實際中用得最多。
  • 缺：易受極值影響，偏態分佈時，代表性較差。
  • 調和平均數，適用於特殊數據，不能直接計算算術平均數的數據。
  • 幾何平均數，適用於特殊數據，計算比例數據的平均數。