一. 極限的定義

極限存在的充要條件：左右極限必須相等

極限不存在的兩種情況：

1. 左 $\neq$ 右

2.無窮大 $∞$

二. 極限的計算(每一步都要思考，化簡判斷型)

1）公式

設 $\lim\nolimits_{} f(x) = A$ ， $\lim\nolimits_{} g(x) = B$ ,則有：

(1). $\lim_{} [f(x) \pm g(x) ] = \lim_{} f(x) \pm \lim_{} g(x) = A\pm B$

(2) . $\lim_{} [f(x) \ast g(x) ] = \lim_{} f(x) \ast \lim_{} g(x) = A \ast B$

(3) . $\lim_{} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{} f(x) }{\lim_{} g(x)} = \frac{A}{B}$

2）技巧

1. 有定義直接代入

2 .抓大頭

在定義爲無窮時若是分數有複雜運算，就取該分數的最大的數即次數最大進行計算（只適用於快速得出結果）

3）兩個重要極限

1. $\lim_{□\to0} \frac{\sin □ }{□} = 1$

2. $\lim_{x\to ∞} (1 + \frac{1}{x} )^x = e 或 \lim_{x\to ∞} (1 + x )^\frac{1}{x}= e —即— \lim_{□\to0} (1 + □)^ \frac{1}{□} => 1^∞$

（1）步驟：

① 湊“1”; ② 湊 “+”; ③ 湊互爲倒數關係

4)等價無窮小代換

當x->0時：

①. $\sin x ， \tan x ， arc\sin x ， arc\tan x 等價於 x$

② . $e^x -1 , \ln ( 1+ x) 等價於 x$

③. $1 - \cos x 等價於 \frac{1}{2}x^2$

④. $\sqrt[]{1 + x} -1 等價於 \frac{1}{2} x$

注意：乘除可以用，加減不可以。

注意：當然考試的時候不會那麼簡單，仍然要做一個推廣，只要整體形勢x，是趨於零，那麼都是等價的。如：

$\lim_{x\to0} \frac{\ln (1 + 2x) }{sinx} 轉換爲\lim_{x\to0} \frac{2x}{x}$

$\lim_{x\to0} \frac{e^x (^2)-1 }{\cos x -1}$ 轉換爲 $\lim_{x\to0} \frac{x^2}{-\frac{1}{2}x^2 }$ (注意：這裏的（2）是 $x^2$ 因爲編譯格式的問題，不允許二重嵌套指數)。

5) 洛必達

洛必達法則：對於 $\frac{0}{0} 或 \frac{∞}{∞}$ 型，有 $\lim_{} \frac{f(x)}{g(x)}$ = $\lim_{} \frac{f`(x)}{g`(x)}$

注意：用一步驗證一步，若仍有 $\frac{0}{0} 或 \frac{∞}{∞}$ 型繼續洛必達

例子： $\lim_{x\to0} \frac{x - sinx}{sin^3x}$

思路，先判斷是否是符合洛必達，然後在計算，注意 $sin^3x$ 符合無窮小代換

解題： $\lim_{x\to0} \frac{x - sinx}{sin^3x} =\lim_{x\to0} \frac{x- sinx}{x^3} = (求導)\lim_{x\to0} \frac{1-cosx}{3x^2} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{3x^2} = \frac{1}{6}$

6) 通分合並

$∞ \pm ∞型$ ：通分合並

7）根式有理化（根號是有理的，把根號消掉）

步驟：

①乘以有理化因子： $\sqrt{A} - \sqrt{B} : \sqrt{A} + \sqrt{B}$ 或 $\sqrt{A} + \sqrt{B} : \sqrt{A} - \sqrt{B}$

②多出來的根號直接帶入

8） $0 \times ∞$ 型（誰簡單顛倒誰）

方法： $0 \times ∞$ 型的

原理：0 除以無窮分之一也是 $0 \times ∞$ ；無窮除以零分之一也是 $∞ \times 0$ 。則有：

$\implies$ $0$ 可以轉化爲： $\frac{0}{\frac{1}{∞} } = \frac{0}{0}$

$\implies$ $∞$ 可以轉化爲 $\frac{∞}{\frac{1}{0} } = \frac{∞}{∞}$

例子1：

$\lim_{x\to0^+ } x\ln x = \lim_{x\to0^+ }\frac{\ln x }{\frac{1}{x} } = \lim_{x\to0^+ }\frac{\frac{1}{x} }{-\frac{1}{x^2 } } = \lim_{x\to0^+ }(-x) = 0$ ；分析：可以看出例子型是 $0 \times ∞$ 型，所以可以替代其中一個，拿最簡單的來替換也就是x，則有 $∞ \div 顛倒數$ $\implies 顛倒數：\frac{1}{x}$ 。

例子2： $\lim_{x\to∞} x(\frac{\pi }{2} - arc\tan x )\Rightarrow \lim_{x\to∞} \frac{\frac{\pi }{2} - arc\tan x }{\frac{1}{x} } \Rightarrow(求導) \lim_{x\to∞}\frac{ 0 - \frac{1}{1 + x^2 } }{-\frac{1}{x^2 } } \Rightarrow \lim_{x\to∞}\frac{x^2 }{1+ x^2}\Rightarrow (抓大頭)\lim_{x\to∞} \frac{x^2 }{x^2} = 1$ 分析：可以看出例子型是 $0 \times ∞$ 型，所以可以替代其中一個，拿最簡單的來替換也就是x。