Codeforces932G Palindrome Partition【回文树DP（附border的若干证明）】

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PS：下面的图截自skyh的PPT 水题再选讲，先Orz为敬。

弱周期引理

长度大于等于一半的串的匹配形成等差数列

长度大于等于|S|/2的border长度形成等差数列

回文串的回文后缀(border)长度可以表示成log个等差数列

本题做法

考虑这么做的正确性，（以下只讨论$len[fail[x]]\ge len[x]/2$的情况，若小于$1/2$显然构不成等差数列，直接继承是对的）。
我们继承$g[fail[x]]$，实际上是想继承 $i-d$ 位置的值，而$fail[x]$一定对应第 $i-d$ 位置吗？
如果在 $(i-d,i)$ 这个区间中出现了 $fail[x]$ 对应的串，由引理1，$fail[x]$ 这个串在 $x$ 中的匹配一定构成等差数列，而 $fail[x]$ 在 $x$ 的开头出现了，所以可以找到 $x$ 的一个比 $len[x]-len[fail[x]]$ 更小的周期，这与 $fail[x]$ 是最大border矛盾，所以继承不会出错。

而引理2,3则保证了本题的复杂度为$O(n\log n)$

顺带一提，为了方便转移，$g[x]$实际上是存的当前等差数列除了开头一项的贡献，即：

Code：咕咕咕