Codeforces1043F Make It One【gcd为1的最小子集】

题目描述：

给出长度为$n$的序列$a_i$，选出最少的数（非空）使得它们的$gcd$为$1$
$n,a_i\le3*10^5$，无解输出$-1$

题目分析：

$3*10^5$以内质因子最多的数只有6个，而如果有解，考虑其中质因子最少的数$x$，其余每个数一定囊括了一个不在$x$中的质因子，且各自囊括的那个质因子不同，（相当于不断去掉gcd的因子）。也就是说答案最多是$x$的质因子个数+1，也就是$7$。
这张例子截自洛谷的题解：

那么枚举答案的个数$k$，求出选出$k$个数组成$gcd=1$的方案$f(1)$，只需要求出选出$k$个数组成$gcd$为$d$的倍数的方案$F(d)$，我们就可以通过容斥或莫比乌斯反演求出$f(1)$。
而 $F(d)=C_{cnt_d}^k$，$cnt_d$表示$a_i$中为$d$的倍数的数的个数。
由莫比乌斯反演有：$f(d)=\sum_{d|x}F(x)\mu(\frac xd)$
由容斥有：$f(d)=F(d)-\sum_{d|x}f(d)$

于是就做完了，复杂度$O(n\ln n*7)$

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300005
using namespace std;
const int mod = 998244353;
int n,a[maxn],mx,f[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
int C(int n,int m){return n<m?0:1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,x;i<=n;i++) scanf("%d",&x),a[x]++,mx=max(mx,x);
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%mod;
	for(int i=1;i<=mx;i++)
		for(int j=i+i;j<=mx;j+=i) a[i]+=a[j];
	for(int k=1;k<=7;k++){
		for(int i=mx;i>=1;i--){
			f[i]=C(a[i],k);
			for(int j=i+i;j<=mx;j+=i) f[i]=(f[i]-f[j])%mod;
		}
		if(f[1]) return printf("%d\n",k),0;
	}
	puts("-1");
}