關於WQS二分

首先你有一個函數$f(k)$，表示選$k$個物品時的代價。

如果$f(k)$是個整數，那麼附加代價可以只在整數內二分。
如果出現了附加代價爲$t$時選了$k+1$個物品，而附加代價爲$t+1$時選了$k-1$個物品，（DP時代價相同取物品數較多的方案）那麼一定有$f(k)+kt=f(k+1)+(k+1)t$

因爲如果是這種情況：
$f(k-1)+(k-1)t\ge f(k)+kt>f(k+1)+(k+1)t\\ f(k-1)+(k-1)(t+1)<f(k)+k(t+1)\le f(k+1)+(k+1)(t+1)$
而上下的三者之差只有1的區別，就會得到：
$f(k-1)+(k-1)t=f(k)+kt=f(k+1)+(k+1)t+1$
做差就會有：
$f(k-1)-f(k)=t\\ f(k)-f(k+1)=t+1$

這個函數凹了！

於是前面提到的結論成立。

而函數的凸性怎麼證？即證$f(k-1)-f(k)\ge f(k)-f(k+1)$
首先要求決策具有單調性，即設$p(i)$爲$i$的最優決策點中最靠右的點，則對於 $j<i$ 要求 $p(j)\le p(i)$
決策的單調性可以通過代價函數的凸性得知。比如說平方函數，越大增速越快。
然後是論文裏提到的證明：


論文中提到的"僅在最後一段大小不唯一處不可導"的意思是左導數不等於右導數（$p'(i,x)$變化）。
我模擬了一下$2~1~3~x$分兩段算最小平方和的情況：

第一項爲分兩段的最小平方和，第二項爲$p'(2,x)$，第三項爲$x$，在$p=2$時導數爲$x+3$，在$p=3$時導數爲$x$，可以明顯地看出這一點，在45.00000附近變化率縮小了兩倍。

因此，記$\Delta_1=\lim\limits_{\Delta x\to 0}ans(i,x+\Delta x)-ans(i,x)$，$\Delta_2=\lim\limits_{\Delta x\to 0}ans(i+1,x+\Delta x)-ans(i+1,x)$
可以得到$\Delta_1\ge \Delta_2$，即$ans(i,x)-ans(i+1,x)$隨$x$增大單調不降。令$x\to 0$和$x\to \infty$即可得到最終的結論。