Codeforces1334G Substring Search【通配字符匹配問題】

題目描述：

給出字母排列$p$以及字符串$s,t$
$s$中的字符$c$可以匹配$t$中的$c$和$p_{c}$，求$s$在$t$中的出現位置。
$n\le2*10^5$

題目描述：

法一：枚舉字符累加匹配數

枚舉一個字符$c$，將$s$中爲$c$的位置設爲1，$t$中匹配的位置設爲1，然後做卷積。
每個字符都做完後 $i$ 位置的值就是$[i-|s|+1,i]$匹配$s$的位置個數，檢驗是否等於$|s|$即可。
複雜度$O(\sum*n\log n)$，$\sum$是字符集大小，這裏是$26$。
不太能過，可以虛數部分利用起來減小2的常數。

法二：差異計算式求和

將每個位置的匹配信息寫作一個計算式，當且僅當匹配時爲0，其餘時候爲正數，那麼就只需要檢驗最後對應位置的和是否爲0即可。
此題中$s$匹配$t[l,r]$計算式爲 $\sum_{i=0}^{r-l}(s_i-t_{l+i})^2*(p_{s_i}-t_{l+i})^2$，將平方拆開之後做FFT。
拆開之後每一項形如 $coef*(s_i^a*p_{s_i}^b)*t_{l+i}^c$，總共需要 9 次FFT 以及 2 個前綴和。
upd：實際上可以根據兩個位置的冪次和來FFT，比如把$a+b$相同的合併在一起，然後乘上對應的$c$，這樣只需要做 3 次FFT 和 2 個前綴和。
複雜度$O(n\log n*C)$，$C$是計算式決定的常數。

如果將FFT改寫爲NTT，由於是在模意義下，可能被卡。可以選擇取兩個模數；或者更簡便的方法是將字符隨機一個$[0,mod)$以內的權值，這樣做的話甚至可以把計算式中的平方給去掉（相當於是在哈希了）。

法三：枚舉字符bitset匹配

FFT和bitset其實是在做差不多的事情，對每個字符預處理出一個bitset $T[c]$表示$c$字符在 $t$ 中的出現位置，然後求出這個字符在 $t$ 中的匹配位置 $match[c]$。在此題中 $mat[c]=T[c]~|~T[p_c]$

然後用一個$bitset~ans$記錄每個位置對$s$的前$i$個字符是否匹配，每次添加$s[i]$時，令$ans\&=match[s[i]]>>i$，最後$ans$的第$i$位爲1就代表$[i,i+|s|-1]$和$s$匹配了。

複雜度$O(預處理+\frac {nm}w)$，這個算法當$n\ge10^5$時一般無法通過。