Codeforces1334G Substring Search【通配字符匹配问题】

题目描述：

给出字母排列$p$以及字符串$s,t$
$s$中的字符$c$可以匹配$t$中的$c$和$p_{c}$，求$s$在$t$中的出现位置。
$n\le2*10^5$

题目描述：

法一：枚举字符累加匹配数

枚举一个字符$c$，将$s$中为$c$的位置设为1，$t$中匹配的位置设为1，然后做卷积。
每个字符都做完后 $i$ 位置的值就是$[i-|s|+1,i]$匹配$s$的位置个数，检验是否等于$|s|$即可。
复杂度$O(\sum*n\log n)$，$\sum$是字符集大小，这里是$26$。
不太能过，可以虚数部分利用起来减小2的常数。

法二：差异计算式求和

将每个位置的匹配信息写作一个计算式，当且仅当匹配时为0，其余时候为正数，那么就只需要检验最后对应位置的和是否为0即可。
此题中$s$匹配$t[l,r]$计算式为 $\sum_{i=0}^{r-l}(s_i-t_{l+i})^2*(p_{s_i}-t_{l+i})^2$，将平方拆开之后做FFT。
拆开之后每一项形如 $coef*(s_i^a*p_{s_i}^b)*t_{l+i}^c$，总共需要 9 次FFT 以及 2 个前缀和。
upd：实际上可以根据两个位置的幂次和来FFT，比如把$a+b$相同的合并在一起，然后乘上对应的$c$，这样只需要做 3 次FFT 和 2 个前缀和。
复杂度$O(n\log n*C)$，$C$是计算式决定的常数。

如果将FFT改写为NTT，由于是在模意义下，可能被卡。可以选择取两个模数；或者更简便的方法是将字符随机一个$[0,mod)$以内的权值，这样做的话甚至可以把计算式中的平方给去掉（相当于是在哈希了）。

法三：枚举字符bitset匹配

FFT和bitset其实是在做差不多的事情，对每个字符预处理出一个bitset $T[c]$表示$c$字符在 $t$ 中的出现位置，然后求出这个字符在 $t$ 中的匹配位置 $match[c]$。在此题中 $mat[c]=T[c]~|~T[p_c]$

然后用一个$bitset~ans$记录每个位置对$s$的前$i$个字符是否匹配，每次添加$s[i]$时，令$ans\&=match[s[i]]>>i$，最后$ans$的第$i$位为1就代表$[i,i+|s|-1]$和$s$匹配了。

复杂度$O(预处理+\frac {nm}w)$，这个算法当$n\ge10^5$时一般无法通过。