學習數學建模，對所有大致模型做一個瞭解和學習，參考《數學模型》和《算法建模與應用》
1 如何建立數學模型
這部分已經在另一篇博客說過，不贅餘了。
2 初等模型
非常簡單的入門介紹，做過數學高中題目的都知道了。
3 優化模型
簡單的初等優化模型，可以直接利用關係建立方程式，然後直接利用微積分、導數知識直接求解析解。
4 線性規劃
在這裏，我們關心有稍微複雜一點的多變量，但是每個變量跟目標函數是線性關係的情況。當變量多於二維時，可以考慮matlab求解，但是高維的話，只能考慮貪心等等了。
當建模完成的時候，我們關心的就是如何求解、以及模型分析其實際意義、和模型檢驗了。但是在什麼情況下才能用線性規劃呢？
這個線性規劃，我可以想到的例子有線性規劃求解感染樹、機器學習的目標函數、多播Qos問題的貪心近似算法，這些問題其實因爲決策變量就是高維隨機變量，導致儘管目標函數很簡單，精確求解也是不可能的，只能啓發、貪心、演化類算法求解，比如機器學習的目標函數的求解方法有性能保證嗎？沒有，很多都是基於統計學和數據來做。
5 微分方程模型
描述實際現象的某些特性（可微、連續或者近似可微）隨時間而演變的過程、分析它的變化規律、預測未來性態、研究控制手段。
5.1 最簡單的SI模型
但是很明顯，該模型是有很多問題的，比如有效接觸的人羣中，有健康人也有病人。那麼改進假設，假設人羣中有感染者與非感染者兩種。再將其延伸到SIR、SEIR模型中，還是分析其各種狀態人數和t的關係。
這一部分，和《網絡科學導論》中分析感染人數幾乎是一致的，但是後者擁有配對近似和度近似兩種手段建立更精確的傳播人數近似。
5.1 模型SIR
在SIR模型方面，經過一定假設建立的方程組發現居然沒有解析解，所以只能夠利用數值解在matlab畫圖。進而分析s（t），i（t）
隨時間t變化規律，這裏涉及到了相軌線分析。
模型驗證
假如有了現實的這個模型的某些數據，我們並沒有解析解，但是有數值解。所以先用模型畫圖，再查看現實數據是否擬合，擬合不錯就算建模成功。
後面還有經濟增長模型、正規戰與游擊戰、謠言在體內的分佈、香菸過濾嘴的作用、人口的預測與控制、煙霧擴散與控制、萬有引力定理的發現等等，因爲跟我的方向沒啥關係，就沒關注。
6 代數方程以及差分方程
6.1 首先了解差分方程與微分方程區別
一、微分方程與差分方程的區別：
1、定義不一樣：微分方程指描述未知函數的導數與自變量之間的關係的方程（比如傳染病模型）；差分方程又稱遞推關係式（比如DMP和NETSLEUTH算法和RC都可算遞推式），是含有未知函數及其差分，但不含有導數的方程。
2、解不完全一樣：微分方程的解是一個符合方程的函數，在初等數學的代數方程，其解是常數值；差分方程的解是滿足該方程的函數，也就是解析解。
3、應用不完全一樣：微分方程的應用可以解決許多與導數有關的問題。物理中許多涉及變力的運動學、動力學問題，很多可以用微分方程求解，微分方程在化學、工程學、經濟學和人口統計等領域都有應用；差分方程多用於模型應用。
二、差分方程是微分方程的離散化。（這句話是比較重點的。）
6.2 按年齡分組的人口模型（差分方程和線代的雙重使用）
這個模型就是一個差分方程組構建的模型，用來判斷種羣中每個年齡組的人數。（就是DMP和NETSLEUTH算法的理論。）
那麼數學建模關心的是該模型的穩態分析。
該穩態分析在說，一旦確定了L矩陣，那麼其就有唯一的單重正特徵根和正特徵向量。而該特徵值還是最大的，該正特徵向量就表示穩態後每個年齡段的種羣數目所佔比例。(特徵向量的幾何意義就是變換後只是同等比例增大減少的向量），那麼年齡組的穩態人數比例緊緊的跟最大特徵值和特徵向量有關係了。
如果我們想要找到最開始的源點，可以針對每個節點建立這樣一個方程組。看下經過多少t後有着跟現有觀察節點最相似的向量。
6.3 其他模型
包括投入產出模型、CT技術的圖像重建、蜘蛛網模型、減肥計劃），因爲跟我的方向沒啥關係或者沒什麼人研究，所以沒細看。
7 穩定性模型
動態系統的不動點研究。
暫時沒有發現跟我的方向有關、或者有人研究這個，沒細看。
9 概率模型
必須考慮隨機性的模型。
9.1 報童的訣竅
意思是說，這裏用到了報童的期望跟n的關係，由於（1）式子是一個離散的，不好求n跟G（n）期望的關係以及極值，可以離散轉連續，然後進行求導，導數=0.發現需要滿足(3)式就可以。做p（r）的圖，發現其滿足圖1的關係就是極值點。那麼分析極值點兩邊的遞增還是遞減，肯定是左邊遞增的。然後當n滿足（3）式，取極值。也就是賣不完和賣完的各自總和概率之比=(a-b)/(b-c)。
9.2 隨機人口模型
重點把握用微分模型和概率模型建立的人口模型區別和聯繫。
那麼用概率模型怎麼做呢？
利用概率模型建模過程 +差分方程，推導出來的t時刻人口數目期望。其求解出來居然和微分方程建立的是一模一樣的。
有必要對生滅過程、分支過程做一個瞭解的。
12 馬氏鏈模型
12.1 健康模型
構建狀態以及狀態轉移矩陣，關心其穩態分析。
*馬氏鏈模型針對的是隨時間變換而改變狀態的系統，可以用來構造網絡傳播的，類似DMP，NETSLEUTH算法，都可以算是一種構建每個節點感染狀態和時間的關係，無非這種就是高維節點的各種狀態變換，而教科書描述是單個節點狀態的變換矩陣。而本書構建狀態和狀態轉移矩陣，關心其穩態的。但我有些疑問，有些問題長的很不像馬氏鏈能搞定的，怎麼等同？比如12.2
* 其實也有點像差分方程，不過是有概率的遞推式（差分）構建。和第9章的概率模型構建人口模型也類似。
12.2 鋼琴的存儲策略
應用穩態分析和全概率公式。
首先假設第n周需求量是符合泊松分佈，然後直接得到狀態和狀態轉移矩陣。
判別是正則鏈還是吸收鏈，判斷其狀態穩態，得到所要求解問題事件，利用全概率公式、條件概率公式、等等得到其結果。
