《陶哲軒實分析》閱讀

        在讀論文過程中，發現當作者通過數學建模構建了其自變量和因變量的表達式之後，在模型求解階段，會關心其單調性、極值、衰減因子，而後在模型檢驗階段通過實驗來驗證求解的性質或者推論等，這也可以在論文中發表，於是對數學分析這個過程非常好奇，參考《陶哲軒實分析》和《網絡中信息傳播:信息源選擇與檢測的若干關鍵問題研究》論文。目前所學習到的東西

 1   從定義和公理可以推導很多定理、引理、推論，而數學分析就是強調這一過程，解決寫論文時含糊不清的字眼，詞彙。

2    研究對象包括實數、實數序列、實數級數以及 實值函數，這些對象在處理各種問題時候大量出現。

 

 

 

1  引言

1.1 什麼是分析

      分析學是對實數、實數序列、實數級數以及 實值函數進行嚴格研究的學科，並且着力於對這 些對象做出準確的定性和定量分析。實分析是微積分學的理論基 礎，而微積分是我們在處理函數時所用到的計算規則的集合。

1.2 爲什麼要做分析？

    爲了讓你明白數學工具的原理以及知道其限制條件和優點，什麼情況能用，什麼情況不能用。

           更重要的其實是將自己所遇到的問題構造（轉化）爲數學能夠解決的問題，一方面我們有必要對自己研究方向的遇到的各種問題了如指掌，另一方面就是不斷學習新的數學工具。

 

2   從頭開始：自然數

考慮最本質的問題，比如我寫1+1，你爲什麼馬上就反應其等於2，我們對於數字的敏感在於我們對其的加法法則已經根深蒂固的瞭解，但是如果讓你證明1+1=2，似乎是一件很難的事情。

2.1 皮亞諾公理

     作者想要定義自然數這個東西，卻發現其需要皮亞諾5個公理才能定義。前面4個其實我覺得是在補全定義自然數有時候出現紕漏的情況，而第5個公理數學歸納法是給予自然數增長不斷到無限的保證。

數學歸納法就像一個模板一樣，可以套用各種各樣的東西進去，其公理長這樣，

公理 2.5（數學歸納法原理）令 P(n) 表示自然數 n的任意一個性質， 如果 P(0) 爲真且 P(n) 爲真時一定有 P(n++)也爲真， 那麼對於任意自 然數 n，P(n) 一定爲真。

     其中P（n）可以是“n 是偶數”“n 等於 3”“n 是方程的解”，等等。這點非常重要，涉及到你是否能夠套用這個定理去解決你的問題。比如搞定某個函數是否單調增、某個數列是否收斂等。
 

2.2 加法

目前我們只有增量運算和少量定理來構成對自然數的定義，那麼如何定義加法，並推導出加法交換律、結合律等等呢？

對象（加法）的規律（交換律、結合律）來自於公理、定義（自然數、數學歸納法、增量運算、加法）下的產物。

陶哥這樣定義：

定義 2.2.1（自然數的加法）令 m 爲一個自然數，我們定義 m 加上 0 爲 0+m := m。 現在遞歸地假設我們已經定義瞭如何把 m 加上 n，那 麼我們把 m 加上 n++ 定義爲 (n++)+m:=(n+m)++。

 

由這個再加上兩條引理，可證明加法的可交換律。

 

     比如我們要證明1+1=2，那我們必須要定義1，2是什麼，+是什麼，=是什麼。這裏1,2是自然數、+表示加法，=表示相等。那麼我們必須定義好自然數（2.1節乾的事），定義好+（2.2節乾的事）。然後纔可得1+1=2。

2.3 乘法

 

3 集合論

3.1 基礎知識

還是一樣的討論，定義集合以及上面的一些運算(交集、補集、並集），然後推導其運算律。

3.2

 

3.3 函數

爲了研究分析理論，僅有集合的概念並不是特別有用，我們還需要從 一個集合到另一個集合的函數概念。

 

 

3.4  象和逆象

 

3.5 笛卡爾積

另一個定義在集合上的運算。

 

3.6 集合的基數

 

 4 整數與有理數

通過引入減法運算，我們從自然數中得到了整數，並且通過引 入除法運算從整數中得到了有理數。

 

 

5 實數

通過引入減法運算，我們從自然數中得到了整數，並且通過引 入除法運算從整數中得到了有理數。但是從有理數中得到實數是從一 個“離散的”系統過渡到一個“連續的”系統，而且還需要引入一個略微不同的概念——極限。

 

 

數學是環環相扣的，從自然數其上運算，從集合論到其上運算，從自然數+減法到整數，從整數+除法得到有理數，從有理數+極限得到實數。但其全部過程都是在補全數論。就像c語言的各種類型一樣。

6  序列的極限

在上一章中，我們把實數定義爲有理數（柯西）序列的形式極限，進 而又定義了實數的各種運算。但是，與我們構造整數（最終用實際差 代替了形式差）和有理數（最終用實際商代替了形式商）時所做的工 作不同，我們還沒有真正完成構造實數的任務，因爲我們從未用真正 的極限 來代替形式極限 。事實上，我們根本還不曾 定義極限。現在我們就來修正這件事。

        嚴格定義極限，

7  級數

在第6章序列極限基礎上更近一步，定義級數及其極限。

 

8

9 R上的連續函數

     在前幾章中，我們主要研究了序列。序列  可以看作是一個從 N到 R的函數，即對每一個自然數 n 都指定了一個實數an 的映射。然 後我們對這些從 N到 R的函數做了各種各樣的事情，例如在無窮大 處取它們的極限（當函數收斂時），或者構造上確界和下確界等，又 或者計算一個序列的全體元素之和（同樣要假設級數是收斂的）。

      現在我們要研究的不是定義在“離散的”自然數集 上的函數，而是 定義在一個連續系統上的函數，例如定義在實直線 上的函數，或者 定義在像 這樣區間上的函數。最終，我們將對這些函 數進行大量運算，包括取極限、求導以及計算積分值。在本章中，我 們主要研究函數的極限以及與之密切相關的連續函數的概念。