數論問題：最大公約數的3種求法

幾個整數中公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

例如：12、16的公約數有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數，一般記爲（12，16）=4。12、15、18的最大公約數是3，記爲（12，15，18）=3。

最大公約數有以下幾種求法：

第一種：輾轉相除法（歐幾里得算法）

已知 a = ms，b = ns，a = tb + r ，其中 a > b，求a，b的最大公約數s。

r = a - tb = ms - tns = (m - tn) s 即 a 與 b 的最大公約數GCD(a,b)相當於 r 與 b 的最大公約數GCD(b,r)。

如果其中一個數爲0，則另一個數爲最大公約數

例：10和35

過程爲：GCD(10,35) = GCD(35,10) = GCD(10,5) = GCD(5,0) = 5

1、由10除以35，餘數爲10得到（35，10）

2、由35除以10，餘數爲5得到（10，5）

3、由10除以5，餘數爲0得到（5，0）

4、最後得最大公約數5

import java.util.Scanner;

public class Gcd {
    // 計算輸入的兩個整數的最大公約數
    // 用變量 m 和 n 存儲兩個數的值，如果n爲0，程序結束，m的值爲最大公約數
    // 否則計算m除以n的餘數，把n保存到m中，並且把餘數保存到n。
    // 重複這個過程，每次都先判定n是否爲0。
    // 輾轉相除法

    public static int getGcd(int m,int n){
        if(n == 0) {
            System.out.println(String.format("GCD(%d,%d)",m,n));
            return m;
        }
        else {
            int r = m % n;
            int c = m / n;
            System.out.println(String.format("GCD(%d,%d)",m,n));
            System.out.println(String.format("%d / %d = %d …… %d",m,n,c,r));
            m = n;
            n = r;
            return getGcd(m,n);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {

        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.println("Please input 2 numbers:");
        int num1 = sc.nextInt();
        int num2 = sc.nextInt();
        int gcd = getGcd(num1,num2);
        System.out.println(String.format("%d 和 %d的最大公約數爲 %d",num1,num2,gcd));

    }

}

運行結果如下： 

Please input 2 numbers:
98 63
GCD(98,63)
98 / 63 = 1 …… 35
GCD(63,35)
63 / 35 = 1 …… 28
GCD(35,28)
35 / 28 = 1 …… 7
GCD(28,7)
28 / 7 = 4 …… 0
GCD(7,0)
98 和 63的最大公約數爲 7

 

第二種：更相減損法

已知 a = ms，b = ns，其中 a > b，求a，b的最大公約數s。

r = a - b = ms - ns = (m - n)s 即 a 與 b 的最大公約數GCD(a,b)相當於 r 與 b 的最大公約數GCD(b,r)。

如果其中一個數爲0，則另一個數爲最大公約數

例：10和35

過程爲：GCD(10,35) = GCD(35,10) = GCD(25,10) = GCD(15,10) = GCD(10,5) = GCD(5,5) = 5

1、由35減10，差爲25得到（25，10）

2、由25減10，差爲15得到（15，10）

3、由15減10，差爲5得到（10，5）

4、由10減5，差爲5得到（5，5）

5、最後得最大公約數5

import java.util.Scanner;

public class Gcd2 {
    //更相減損法
    // 1、先判斷兩個數是否相等，如果相等，即爲最大公約數
    // 2、判斷兩個數是否是偶數，如果是偶數，將兩者進行移位運算
    // 3、用較大的數減較小的數，將差和較小數繼續重複運算，直至兩數相等

    public static int getGcd2(int n,int m) {
        if (n == m) {
            System.out.println(String.format("GCD(%d,%d)",n,m));
            return n;
        }

        if((n%2 == 0) && (m%2 == 0)){
            System.out.println(String.format("GCD(%d,%d)",n>>1,m>>1));
            return 2 * getGcd2(n>>1,m>>1);
        }else{
            int max = Math.max(n,m);
            int min = Math.min(n,m);
            int difference = max - min;
            System.out.println(String.format("GCD(%d,%d)",max,min));
            System.out.println(String.format("%d - %d = %d",max,min,difference));
            return getGcd2(min,difference);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("Please input 2 numbers:");
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int num1 = sc.nextInt();
        int num2 = sc.nextInt();
        int result = getGcd2(num1,num2);
        System.out.println(String.format("%d 和 %d 的最大公約數是：%d",num1,num2,result));
    }

}

 運行結果如下：

Please input 2 numbers:
98 63
GCD(98,63)
98 - 63 = 35
GCD(63,35)
63 - 35 = 28
GCD(35,28)
35 - 28 = 7
GCD(28,7)
28 - 7 = 21
GCD(21,7)
21 - 7 = 14
GCD(14,7)
14 - 7 = 7
GCD(7,7)
98 和 63 的最大公約數是：7

第三種：Stein算法

更相減損法：操作	甲數	乙數	Stein算法：操作	甲數	乙數
	98	63		98	63
98-63=35	63	35	98是偶數，除以2	49	63
63-35=28	35	28	都是奇數，63-49=14	49	14
35-28=7	28	7	14是偶數，除以2	49	7
28-7=21	7	21	49-7=42	42	7
21-7=14	7	14	42是偶數，除以2	21	7
14-7=7	7	7	21-7=14	14	7
7-7=0	7	0	14是偶數，除以2	7	7
			7-7=0	7	0

更相減損法有點類似於求最大公約數的Stein算法。在更相減損法中，若兩個是偶數則同除以2，結果乘以2。

如果增加一個判斷，若爲一奇一偶則偶數除以2，結果不變，若爲兩個奇數才相減，這樣就變成了計算大整數最大公約數的非常好的一個算法，Stein算法。

import java.util.Scanner;

public class Gcd1 {
    // 計算輸入的兩個整數的最大公約數
    // Stein算法

    public static int getGcd1(int m,int n){
        int difference;

        // 判斷兩個數是否相等，如果相等，則返回最終結果。
        if(m == n ){
            System.out.println(String.format("GCD(%d,%d)",m,m));
            return m;
        }
        // 判斷兩個數是否爲0
        if(m == 0){
            System.out.println(String.format("GCD(%d,0)",n,0));
            return n;
        }
        else if (n == 0) {
            System.out.println(String.format("GCD(%d,0)",m,0));
            return m;
        }

        if((m % 2 == 0) && (n % 2 == 0)) {
            System.out.println(String.format("2*GCD(%d,%d)",m>>1,n>>1));
            return 2 * getGcd1(m >> 1,n >> 1);
        }else if((m % 2 == 0) && (n % 2 !=0)) {
            System.out.println(String.format("GCD(%d,%d)",m>>1,n));
            return getGcd1(m >> 1,n);
        }else if((n % 2 == 0) && (m % 2 != 0)) {
            System.out.println(String.format("GCD(%d,%d)",m,n>>1));
            return getGcd1(m,n>>1);
        }else{
            int max = Math.max(m,n);
            int min = Math.min(m,n);
            difference = max - min;
            System.out.println(String.format("GCD(%d,%d)",max,min));
            System.out.println(String.format("%d - %d = %d",max,min,difference));
            return getGcd1(min,difference);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.println("Please input 2 numbers:");
        int num1 = sc.nextInt();
        int num2 = sc.nextInt();
        int result = getGcd1(num1,num2);
        System.out.println(String.format("%d 和 %d 的最大公約數是：%d",num1,num2,result));

    }

}

運行結果如下： 

Please input 2 numbers:
98 63
GCD(49,63)
GCD(63,49)
63 - 49 = 14
GCD(49,7)
GCD(49,7)
49 - 7 = 42
GCD(7,21)
GCD(21,7)
21 - 7 = 14
GCD(7,7)
GCD(7,7)
98 和 63 的最大公約數是：7