hdu1568 Fibonacci

Problem Description

2007年到來了。經過2006年一年的修煉，數學神童zouyu終於把0到100000000的Fibonacci數列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部給背了下來。
接下來，CodeStar決定要考考他，於是每問他一個數字，他就要把答案說出來，不過有的數字太長了。所以規定超過4位的只要說出前4位就可以了，可是CodeStar自己又記不住。於是他決定編寫一個程序來測驗zouyu說的是否正確。

 

Input

輸入若干數字n(0 <= n <= 100000000)，每個數字一行。讀到文件尾。

 

Output

            輸出f[n]的前4個數字（若不足4個數字，就全部輸出）。

 

Sample Input

0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40

 

Sample Output

0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023

 

以前從來都沒有見過這種題，於是上網查了一些資料，感覺還是比較好理解的，用到了很多意想不到的東西

首先是Fabonacci數列的通項公式：

之後又運用了以10爲底的對數函數的性質，我們先對上面這個等式的兩邊取對數（以10爲底），得到：

根據經驗可以知道，當n小於21的時候，斐波那契數列的值是小於4位數的，所以我們只討論n大於21的情況。當n大於21的時候這項是趨近於0的，所以我們暫時不管它，所以可以粗略得到這樣的等式：

我們令等號右邊的式子爲k，則我們得到等式：

所以10^k = F(n)，而以10爲底的對數函數有一個很有意思的性質，舉個例子來說：10^1.5 =31.62277，而當我們取k = 1.5的小數部分時，我們發現：10^0.5 = 3.162277 ；其餘的例子隨便舉，不論是：10^2.3和10^0.3還是10^1.3和10^0.3什麼的，結果都只是小數點的位置在變化。反過來，假設給出一個很大的數12345678，那麼log10(12345678) = log10(1.2345678*10^7) = log10(1.2345678) + 7，結果呢，log10(1.2345678)就是log10(12345678)的小數部分。

代碼：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int Fibo[30];
void getFibo(int n)
{
    Fibo[0] = 0;
    Fibo[1] = 1;
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        Fibo[i] = Fibo[i-1] + Fibo[i-2];
    }
}

int main()
{
    int n;
    getFibo(21);
    while(cin>>n)
    {
        if(n<21)
        {
            cout<<Fibo[n]<<endl;
        }
        else
        {
            double a = (1+sqrt(5))/2;
            double temp = -0.5*log10(5.0) + n*log10(a);
            temp -= (int)temp;
            temp = pow(10.0,temp);
            while(temp<1000)
            {
                temp *= 10;
            }
            cout<<static_cast<int>(temp)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

爲什麼我麼要捨去（1-sqrt（5））/2的部分？

我個人認爲原因有兩個，原因之一：當n越來越大的時候，這個數會趨近於0，不會影響運算結果；原因之二：減少運算量，我一開始沒有把這項捨去，結果提交的時候越界了。