01串出現奇數個1的方案數 2016四川省賽 Odd Discount

題目鏈接：https://acm.bnu.edu.cn/v3/problem_show.php?pid=52300

先證明結論，後說題目；
結論1：長度爲n的01序列出現奇數個1的方案爲總方案的1／2（即出現奇數個1和出現偶數個1的方案數相等）
證明：（數學歸納法）
n＝1的情況，顯然成立；
如果n＝i成立：那麼再額外增加1個1，奇數個1和偶數個1的方案會對調；再額外增加1個0，奇數個1和偶數個1的方案不變；因此n＝i＋1也成立；
所以長度爲n的01序列出現奇數個1和出現偶數個1的方案數相等

結論2：長度爲n的01序列，限制某長度爲m的子序列出現奇數（或偶數）個1。滿足條件的方案數爲總方案的1／2（即2n−1 ）
證明：由結論1知，子序列的合法方案爲2m−1 ，剩餘部分可隨便取，合法方案爲2n−m ，故總的方案爲2n−1

結論3：長度爲n的01序列，限制兩個不同的子序列出現奇數（或偶數）個1。滿足條件的方案數爲總方案的1／4（即2n−2 ）
證明：
情況1.兩個子序列不相交時，由結論2易知，爲原來的12∗12=14
情況2.一個子序列被另一個包涵時，要滿足相交部分是奇數個，不相交部分是偶數個，轉化爲了情況1，所以1／4；
情況3.兩個子序列相交時（不包涵），分兩種情況討論：
(1).相交部分有奇數個1（由結論2可知這種方案是總方案的1／2），剩餘部分轉化爲情況1，所以1／8；
(2).相交部分偶數個1，同上；
所以是18+18=14

事實證明，長度爲n的01序列，確定m個不同子序列的1個數的奇偶性，則符合條件的方案數爲2n−m 個

題意：有n件物品可以購買，有m種折扣。折扣i有ki個要求物品，如果ki個要求的物品中購買了奇數個，就可以得到這個折扣的值ci。顯然有2^n－1種購買方案。對於一種購買方案，它的價值是獲得折扣的和的平方。要求輸出，所有方案的價值和。

分析：
先把所有條件一樣的折扣累加在一起。
n個物品買或不買構成了01序列。
對於一種購買方案i，其對答案的貢獻是：
(ci1+ci2+ci3....+cik)2=∑kj=1c2ij+2∑p,q(p!=q)cipciq

分別計算每一項在多少種購買方案中出現。
平方項在滿足對應條件時出現，出現2n−1 次
兩個c相乘，在同時滿足兩個條件時出現，出現2n−2 次

#include<bits/stdc++.h>
const int Z = 1e9+7;
int v[1<<20];
int main()
{
    int n,m,c,k,sta,a,ret=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        sta=0;
        scanf("%d%d",&c,&k);
        while(k--) scanf("%d",&a),sta|=1<<a-1;
        v[sta]=(v[sta]+c)%Z;
    }
    if(n==1)res=1ll*v[1]*v[1]%Z;
    else
    {
        int tmp=0;
        for(int i=1;i<(1<<n);i++)
            tmp=(tmp+v[i])%Z,
            res=(res+1ll*v[i]*v[i]%Z)%Z;
        res=(res+1LL*tmp*tmp)%Z;
        for(int i=1;i<=n-2;i++) res=2ll*res%Z;
    }
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}