Gym101606F Flipping Coins

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題意：
一個愉快簡單的遊戲：有N個相同的硬幣，都是正面朝下，反面朝上。我們每次拾起一枚硬幣，拋，拋後的結果（正面/反面朝上）取代硬幣原來的朝向。拋K次，我們最後可能使得所有的硬幣都正面朝上。
本質上說，這是一個資本家的遊戲，我們必須要採取最佳的玩法去贏得最多的硬幣。在所有的策略和結果的組合中，通過最佳的玩法，我們能夠獲得的硬幣的最大期望（平均值）是多少？

輸入：
一行兩個數N，K(1 <= N, K <= 400)。N是硬幣的數量，K是拋的次數。

輸出：
輸出一個期望值（實數），表示我們最後可能得到的正面朝上的硬幣的數量。輸出結果精確到10^-6。

做法：
換句話說，題意也就是：給N個硬幣，開始均反面朝上。每次挑出其中一個拋，連續K次，求正面朝上的最大數學期望。

由於是求最大數學期望，所以每次拋硬幣即要優先選擇反面硬幣。

（1）暴力的想法
以樣例3爲例，我們可以得到下面的結果，注意優先選擇反面的硬幣。

但是1 <= N, K <= 400，如果拋400次的話，我們就會有2^400種可能，而2^400近似於2.58*10^120，顯然暴力法是不可行的，而且考慮優先選擇反面，情況也會變得很複雜。

（2）動態規劃
優先選擇反面硬幣，所以只有兩種挑選硬幣的情況：

1.正面數量爲 0 ~ n-1 ，選擇反面硬幣拋，拋出結果正面數量比原本 +1 或 不變

2.正面數量爲 n，只能夠選擇正面硬幣拋，拋出結果正面數量比原本 -1 或 不變

設 dp[i][j] 表示： 第 i 次拋硬幣後， j 個硬幣正面朝上的概率

1.當 j < n 時，dp[i][j]的概率一分爲二，各給dp[i+1][j]和dp[i+1][j+1]，即

dp[i + 1][j] += dp[i][j] * 0.5;
dp[i + 1][j + 1] += dp[i][j] * 0.5;

2.當 j == n 時，dp[i][j]的概率一分爲二，各給dp[i+1][j]和dp[i+1][j-1]，即

dp[i + 1][n] += dp[i][n] * 0.5;
dp[i + 1][n - 1] += dp[i][n] * 0.5;

如此即可求出n個硬幣拋k次的各個正面朝上的概率，最後求數學期望即可。

當n = 2，k = 3時，dp轉移表格：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

double dp[405][405];

int
main() {
    int n, k, i, j;
    double ans;

    while( scanf("%d %d", &n, &k) != EOF ) {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0][0] = 1;
        for( i = 0; i < k; i++ ) {
            for( j = 0; j < n; j++ ) {
                dp[i + 1][j] += dp[i][j] * 0.5;
                dp[i + 1][j + 1] += dp[i][j] * 0.5;
            }
            dp[i + 1][n] += dp[i][n] * 0.5;
            dp[i + 1][n - 1] += dp[i][n] * 0.5;
        }
        ans = 0;
        for( i = 1; i <= n; i++ ) {
            ans += i * dp[k][i];
        }
        printf("%f\n", ans);
    }

    return 0;
}