約瑟夫環問題的兩種解法

文章出處

題目：

 Josephus有過的故事：39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓。於是決定了自殺方式，41個人排成一個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺。然後下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡爲止。然而Josephus 和他的朋友並不想遵從，Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。

對於這個題目大概兩種解法：

一、使用循環鏈表模擬全過程

#include<iostream>
 
using namespace std;
 
/************約瑟夫問題****************/
 
typedef struct CLinkList
{
    int data;
    struct CLinkList *next;
}node;
 
 
int main()
{
///建立循環鏈表
    node *L,*r,*s;
    L = new node;
    r =L;
    int n = 41,i;
    int k = 3;
    for(i = 1;i<=n;i++)       //尾插法建立鏈表
    {
        s = new node;
        s->data = i;
        r->next = s;
        r= s;
    }
    r->next =L->next;       //讓最後一個結點指向第一個有數據結點
    node *p;
    p = L->next;
    delete L;   //刪除第一個空的結點
 
///模擬解決約瑟夫問題
    while(p->next != p)                            //判斷條件：因爲最後肯定剩下一個人， 循環鏈表的最後一個數據的next還是他本身
    {
        for(i = 1;i<k-1;i++)
        {
            p = p->next;                         //每k個數死一個人
        }
        cout<<p->next->data<<"->";
        p->next = p->next->next;                   //將該節點從鏈表上刪除。
        p = p->next;
    }
    cout<<p->data<<endl;
    return 0;
}

二、公式法

    我們假設這41個人編號是從0開始，從1開始報數，第3個人自殺。

1、最開始我們有這麼多人：

[ 0 1 2 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

2、第一次自殺，則是(3-1)%41=2 這個人自殺，則剩下：

[ 0 1 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

3、然後就是從編號爲3%41=3的人開始從1報數，那麼3號就相當於頭，既然是頭爲什麼不把它置爲0，這樣從它開始就又是與第1,2步一樣的步驟了，只是人數少了一個，這樣不就是遞歸了！！！就可以得到遞歸公式。想法有了就開始做：

4、把第2步中剩下的人編號減去3映射爲：

[ -3 -2 0 1 2 ... 34 35 36 37 ]

5、出現負數了，這樣不利於我們計算，既然是環形，37後面報數的應該是-3，-2，那麼把他們加上一個總數（相當於加上360度，得到的還是它）

[ 38 39 0 1 2 3 ... 34 35 36 37 ]

6、這樣就是一個總數爲40個人，報數到3殺一個人的遊戲。

這次自殺的是第5步中的(3-1)%40=2號，但是我們想要的是第2步中的編號（也就是最初的編號）

那最初的是多少？對應回去是5；

這個5是如何得到的呢？是（2+3)%41得到的。大家可以把第5步中所有元素對應到第2步都是正確的。

7、接下來是

[ 35 36 37 38 0 1 2... 31 32 33 34 ]

自殺的是(3-1)%39=2，先對應到第5步中是(2+3)%40=5，對應到第2步是(5+3)%41=8。

8、這下看出來規律了把：

我們是正着推的，如果反過來推導，每次剩下的人的編號爲f(i)，剩一個人的時候編號一定爲0，兩個人爲0,1，以此類推，則利用以下公式可以推導出每次剩下的人。

  f(1)=0;
  f(i)=(f[i-1]+m)%i;(i>1) 

代碼如下：

#include<iostream>
 
using namespace std;
 
///推導公式方法
int yuesefu(int n,int m){
        if(n == 1){
                return 0; //這裏返回下標,從0開始，只有一個元素就是剩餘的元素0
        }
        else{
                return (yuesefu(n-1,m) + m) % n; //我們傳入的n是總共多少個數
        }
}
int main(void){
 
        int a=41,b=3;
        //遞歸求最後一個存活的編號
        //使用從正向思考
        cout<<"最後一個人是"<<yuesefu(a,b)+1<<endl;
 
        //反向思考，從自殺的最後一人向前
        int result = 2;
        //第一個自殺的人3號
        cout<<3;
        //每次自殺的都是2號，但是不同的2號換算到最初序號所需的的次數是不同的
        //外循環是循環不同的換算次數
        for(int i = a; i >= 2 ; i-- )
        {
            result = 2;
            //內循環是開始換算
            for(int j = i; j <= a; j++)
            {
                result = (result+b) %j;
            }
               cout<<"->"<<result+1;//0開始變1開始，所以加1
        }
        return 0;
}
 

結果是一樣的：