Wallis公式(點火公式)

$Wallis$公式(點火公式)：

$I_n=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx\\=\begin{cases}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\times\dfrac{\pi}{2},n爲正偶數\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\times1\ \ ,n爲大於1的奇數\end{cases}$

特別地：$n=1時\rightarrow \large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx=1$

推廣：

$\large\int_{0}^\pi(sin^nx)dx=2\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx$

$\large\int_{0}^\pi(cos^nx)dx=\begin{cases}0,n爲正奇數\\2\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx,n爲正偶數\end{cases}$

$\large\int_{0}^{2\pi}(sin^nx)dx=\int_{0}^{2\pi}(cos^nx)dx\\=\begin{cases}0,n爲正奇數\\ \large4\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx，n爲正偶數\end{cases}$

純手打，記錄下。