在時頻域分析中，需要先鋪墊幾個概念。分別是相加性、齊次性、時不變、卷積、衝擊響應。下述內容將盡量通俗易懂，減少公式堆砌，可能會有不嚴謹之處。
1.相加性和齊次性
由於這兩個概念是線性系統必須滿足的兩個條件，所以放在一起來說。這兩個概念很好理解，是符合大衆日常認知的。
用一個不太恰當的比喻，大概就是“等價交換”。
一毛錢買一塊糖，十毛錢買十塊糖就是相加性。即f(ax)=af(x)
一毛錢買一塊糖，一個貝殼換一個金子，用一毛錢和一個貝殼能換一塊糖和一個金子，就是齊次性。即f(x+y)=f(x)+f(y)
滿足相加性和齊次性的系統就是線性系統。這種系統是很“直白”的，給他什麼輸入，能得到什麼輸出是很容易計算和理解的。
2.時不變
“直白”的線性系統固然不錯，但他會不會變呢，會不會哪天給十毛錢的時候只能換到5塊糖了呢。有一些是會變的，但有一些不會。對於這些意志堅定不隨時間變化的線性系統，我們叫他線性時不變系統。
3.卷積
卷積的連續的定義爲：
卷積只適用於線性時不變系統。關於卷積，有一個形象的例子：
比如說你的老闆命令你幹活，你卻到樓下打檯球去了，後來被老闆發現，他非常氣憤，扇了你一巴掌（注意，這就是輸入信號，脈衝），於是你的臉上會漸漸地（賤賤地）鼓起來一個包，你的臉就是一個系統，而鼓起來的包就是你的臉對巴掌的響應，好，這樣就和信號系統建立起來意義對應的聯繫。下面還需要一些假設來保證論證的嚴謹：假定你的臉是線性時不變系統，也就是說，無論什麼時候老闆打你一巴掌，打在你臉的同一位置（這似乎要求你的臉足夠光滑，如果你說你長了很多青春痘，甚至整個臉皮處處連續處處不可導，那難度太大了，我就無話可說了哈哈），你的臉上總是會在相同的時間間隔內鼓起來一個相同高度的包來，並且假定以鼓起來的包的大小作爲系統輸出。好了，那麼，下面可以進入核心內容——卷積了！
如果你每天都到地下去打檯球，那麼老闆每天都要扇你一巴掌，不過當老闆打你一巴掌後，你5分鐘就消腫了，所以時間長了，你甚至就適應這種生活了……如果有一天，老闆忍無可忍，以0.5秒的間隔開始不間斷的扇你的過程，這樣問題就來了，第一次扇你鼓起來的包還沒消腫，第二個巴掌就來了，你臉上的包就可能鼓起來兩倍高，老闆不斷扇你，脈衝不斷作用在你臉上，效果不斷疊加了，這樣這些效果就可以求和了，結果就是你臉上的包的高度隨時間變化的一個函數了（注意理解）；如果老闆再狠一點，頻率越來越高，以至於你都辨別不清時間間隔了，那麼，求和就變成積分了。可以這樣理解，在這個過程中的某一固定的時刻，你的臉上的包的鼓起程度和什麼有關呢？和之前每次打你都有關！但是各次的貢獻是不一樣的，越早打的巴掌，貢獻越小，所以這就是說，某一時刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減係數之後的疊加而形成某一點的輸出，然後再把不同時刻的輸出點放在一起，形成一個函數，這就是卷積，卷積之後的函數就是你臉上的包的大小隨時間變化的函數。本來你的包幾分鐘就可以消腫，可是如果連續打，幾個小時也消不了腫了，這難道不是一種平滑過程麼？反映到劍橋大學的公式上，f(a)就是第a個巴掌，g(x-a)就是第a個巴掌在x時刻的作用程度，乘起來再疊加就ok了，大家說是不是這個道理呢？我想這個例子已經非常形象了，你對卷積有了更加具體深刻的瞭解了嗎？
轉自GSDzone論壇
來源：人人網
珠玉在前，就不再對卷積做過多解釋了。如果還不理解的話可以再看下這篇文章知乎用戶：如何通俗易懂地解釋卷積？
卷積的概念理解了，他有一些重要的特徵需要牢記：
性質1：時域的卷積等於頻域相乘；頻域卷積等於時域相乘。
如果你看過我這篇文章信號的各種頻域分析方法的理解（頻譜、能量譜、功率譜、倒頻譜、小波分析） 會對裏邊的一個例子有印象：
實際實驗中齒輪齧合振動信號（高頻）和齒輪軸的轉頻振動信號（低頻）的特徵頻率可能是有多組的，其調製後的頻域信號近似於一組頻率間隔較大的脈衝函數和一組頻率間隔較小的脈衝函數的卷積，從而在頻譜上形成若干組圍繞齧合頻率及其倍頻成分兩側的邊頻族，如下圖：
邊頻帶的形成
圖中（a）爲高頻和低頻信號在時域上的調製（相乘），（b）就是在頻域上做卷積的結果。
邊頻帶的形成又驗證了卷積的第二個性質：
性質2：與脈衝函數的卷積，在每個脈衝的位置上將產生一個波形的鏡像。上圖中左下角的頻域信號圖並不是嚴格的脈衝信號，不過根據線性系統的相加性，其結果類似。一個更嚴格的例子如下圖所示，圖（6）是圖（2）和圖（4）卷積的結果：
時域上的採樣相當於頻域上連續傅里葉變換結果與脈衝信號的卷積
4.衝激響應
系統在單位衝激函數激勵下引起的零狀態響應被稱之爲該系統的“衝激響應”。
形象的理解，衝激響應就是上邊例子中，被打了一巴掌（單位脈衝）後鼓起來的“包”。不同人（不同系統）在受到同樣力度巴掌（單位脈衝）後鼓起來的包的形狀、持續時間都是不同的（衝激響應不同）。但是對於相同的人（線性時不變系統），每次的包都是相同的。所以只要知道了巴掌在何時以何種力度打下去的（信號輸入），通過卷積就能知道臉會腫成什麼形狀。（系統輸出）
所以在時域上，只要知道了衝擊響應，就能根據輸入算出輸出。這就將複雜的輸出結果的計算過程拆成了簡單的兩步：1.計算系統的衝激響應；2.輸入與衝激響應做卷積。
細心地話會發現，上邊的過程是在時域中進行的，時域上的卷積就是頻域上的相乘，所以：衝激響應的頻域變換=輸出的頻域變換÷輸入的頻域變換=傳遞函數。是的，衝激響應的頻域變換就是系統在頻域的傳遞函數。
說到這兒，有一句話，大家試着理解一下：
任何一個線性時不變系統都可以看做是數字濾波器
數字濾波器的概念還沒提到，不過看這個專欄的同學們應該不會陌生。根據上面的描述可知，線性時不變系統在時域上可以抽象成衝激響應，頻域上可以抽象成傳遞函數。從頻域分析來看，信號通過線性系統後，輸出信號的頻譜將是輸入信號的頻譜與系統傳遞函數的乘積。傳遞函數某些頻率成分有較大的模。因此，原始信號中這些頻率成分將得到加強，而另外一些頻率成分處的模很小甚至爲零，原始信號中這部分頻率分量將被削弱或消失。因此，系統的作用相當於對輸入信號的頻譜進行加權。對於任意線性時不變系統，雖然加強或削弱的頻率分量不同，但是其起到的頻率篩選的作用是相同的。
5.窗函數
窗函數這個概念在做傅里葉變換和濾波的時候時常會見到，其含義可以直接看這篇文章：
6.拉普拉斯變換與z變換
拉普拉斯變換和z變換有一個直觀的講解，可以參考這篇：
傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯繫？爲什麼要進行這些變換。研究的都是什麼？
拉普拉斯變換與z變換已經是兩個比較龐大的體系了，如果要徹底搞清楚還是要找課程或者教材學習一下才好。有時間的時候專門對這部分進行補充。
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參考：