MIT HAKMEM算法分析（bitCount算法）

MIT HAKMEM算法分析

问题需求：计算32位整型数中的’1’的个数

思路分析：

1. 整型数 i 的数值，实际上就是各位乘以权重——也就是一个以2为底的多项式：

i=A0∗20+A1∗21+A2∗22+...$i=A_0\ast 2^0+A_1\ast 2^1+A_2\ast 2^2+...$

因此，要求1的位数，实际上只要将各位消权：i = A0+A1+A2+...$A_0+A_1+A_2+...$ 所得的系数和就是’1’的个数。

2.对任何自然数n的N次幂，用n-1取模得数为1，

证明如下：
若:

nk−1%(n−1)=1$n^{k-1}\mathrm{\%}(n-1)=1$

成立

则:

nk%(n−1)=((n−1)∗nk−1+nk−1)%(n−1)=0+nk−1%(n−1)=1$n^k\mathrm{\%}(n-1)=((n-1)\ast n^{k-1}+n^{k-1})\mathrm{\%}(n-1)=0+n^{k-1}\mathrm{\%}(n-1)=1$

也成立

n(1−1)%(n−1)=1$n^{(1-1)}\mathrm{\%}(n-1)=1$

故对任意非负整数N,

nN%(n−1)=1$n^N\mathrm{\%}(n-1)=1$

3.因此，对一个系数为Ai$A_i$ 的以n为底的多项式P(N)， P(N)%(n-1) = (sum(A_i)) % (n-1)

注释： (a + b) % p = (a % p + b % p) %p (a * b) % p = (a % p * b % p) % p 如果能保证sum(Ai)

int bitcount(unsigned int n)  
{  
    unsigned int tmp;  

    tmp = (n &010101010101)  
     +((n>>1)&010101010101)  
     +((n>>2)&010101010101)  
     +((n>>3)&010101010101)  
     +((n>>4)&010101010101)  
     +((n>>5)&010101010101);  

    return (tmp%63);  
}  

010101010101为8进制

但MIT HAKMEM最终的算法要比上面的代码更加简单一些。

为什么说上面的式子中不能先把(ti>>k)都先提取出来相加，然后再进行&运算呢？

因为用&(000001)进行MASK后，产生的有效位只有1位，只要6位数中的’1’个数超过1位，那么在”先加”的过程中，得数就会从最低位中向上溢出。

但是我们注意到，6位数中最多只有6个’1’，也就是000110，只需要3位有效位。上面的式子实际上是以1位为单位提取出’1’的个数再相加求和求出6位中’1’的总个数的，所以用的是&(000001)。如果以3位为单位算出’1’的个数再进行相加的话，那么就完全可以先加后MASK。算法如下：

tmp = (ti$t_i$ >>2)&(001001) + (ti$t_i$ >>1)&(001001) + ti$t_i$ &(001001)

(tmp + tmp>>3)&(000111)

C代码：

int bitcount(unsigned int n)  
{  
    unsigned int tmp;  

    tmp = (n &011111111111)  
     +((n>>1)&011111111111)  
     +((n>>2)&011111111111);  

    tmp = (tmp + (tmp>>3)) &030707070707;  

    return (tmp%63);  
}  

注：代码中是使用8进制数进行MASK的，11位8进制数为33位2进制数，多出一位，因此第一位八进制数会把最高位舍去(7->3)以免超出int长度。

从第一个版本到第二个实际上是一个“提取公因式”的过程。用1组+, >>, &运算代替了3组。并且已经提取了”最大公因式”。然而这仍然不是最终的MIT HAKMEM算法，不过已经非常接近了，看看代码吧。

MIT HAKMEM算法：

C代码：

int bitcount(unsigned int n)  
{  
    unsigned int tmp;  

    tmp = n  
        - ((n >> 1) & 033333333333)  
        - ((n >> 2) & 011111111111);  

    tmp = (tmp + (tmp >> 3)) & 030707070707  

    return (tmp%63);  
}  

又减少了一组+, >>, &运算。被优化的是3位2进制数“组”内的计算。再回到多项式，一个3位2进制数是4a+2b+c，我们想要求的是a
+b+c，n>>1的结果是2a+b，n>>2的结果是a。

于是： (4a+2b+c) - (2a+b) - (a) = a + b + c

中间的MASK是为了屏蔽”组间”“串扰”，即屏蔽掉从左边组的低位移动过来的数。

总结

第一次自己写算法分析，感觉收获还是蛮大的。

看算法的时候都是看这个算法是如何工作的，写的过程则是去模拟发现者的思路，看这个算法是如何被推导出来的，把思路反过来又重新梳理了一遍。

最大的感慨是数学对于算法的重要性。这个算法最开始的思路就是多项式消权，并且贯穿了整个算法推导和优化的过程。而第二步的必要条件则是对取模和幂运算关系的了解。优化的第一步用到了“提取公因式”思想，第二步则回归到了多项式的基本运算。

其中除了取模和幂运算的知识不算太基础以外，其他无一例外都是初中以内的数学知识与思想。特别是对2进制数本质的理解，所有人都清楚如何求得一个二进制整型数的数值，但是却很少有人对其多项式本质始终保持着清晰的认识。

就是这些小得不能再小，基础得不能再基础的地方，决定了我们的水平。