前段時間抽空看了《說謊者悖論和漢諾塔遊戲》（[加拿大]馬塞爾·丹尼斯著，程雲琦譯）一書，作者在第一個謎題“斯芬克斯之謎”中介紹了法國耶穌會詩人 Claude Gaspard Bachet de Méziriac（1581-1638）的一個經典謎題：
若天平兩端可以任意放置砝碼，要稱量從1磅到40磅的整磅重的糖，天平所需要的砝碼個數最少是多少？
換句話說，我們需要確定若干個讀數互不相同的砝碼，用它們在天平上組合出1至40的數。當然，前提是這是臺特殊的天平——你不能開玩笑說天平上還有遊碼，也不能說砝碼的規格是有限定的。我們假定砝碼值可以是任意正整數。傳統上我們可能認爲1，"Times New Roman";" lang="EN-US">2，4，8，16和32磅共7個砝碼，這樣最高可以稱出63磅重的糖。不過這個謎題有意思的地方就在於它使用的是天平quot;Times New Roman";" lang="EN-US">——兩邊都可以放砝碼。於是我們可以這樣來稱出2磅重的糖：把3磅重的砝碼放在天平的左邊，1磅重的砝碼放在天平的右邊，在天平右邊放上糖直到天平平衡。這樣，只需要1，3，9和27磅的砝碼就可以稱出1磅到40磅的糖。
注意到這些砝碼的重量都是3的冪：1=30，3=31，9=32，27=33。依次類推，我們可以使用1，3，9，27和81磅的砝碼稱出1磅到121磅的糖。
那麼針對具體數量的糖，怎樣放置各個砝碼呢？作者給出瞭如下圖所示的稱法。
圖1砝碼放置
作者似乎想表達的是，具體的砝碼放置法的獲得是來源於所謂的“頓悟思維（insight thinking）”。不過寫個具體的算法來實現針對具體數值的砝碼放置方案並不難。
我們同樣假定稱量時將糖放置在天平右邊。那麼算法就是要實現，在輸入砝碼個數和需要稱量的最大數值後，輸出如圖1所示的列表。若稱量的數值超過砝碼所能稱量的最大數值，則提示出錯（比如四個砝碼不能稱出41磅糖）。
我們假設要稱量的數值爲n。算法的基本思想是，通過判斷n所在的“區間”，迭代地把砝碼加到天平左右兩側。這裏的“區間”指的是，將砝碼的值按從小到大累積相加，形成一個新的數列，其中n所在的前開後閉區間。如，對於砝碼1，3，9和27，其累積和形成的數列爲1，4，13，40。如3所在的區間爲(1，4]，而13所在的區間爲(4，13]。
仍假定n=5。算法的運行過程如下：
1．判斷得n∈(4，13]。13是1、3和9的累積和，將最大的砝碼9放入左邊天平。砝碼9的符號爲正。
2．令n = n – 9 = 5 – 9 = - 4，判斷得|n|∈(1，4]。4是1和3的累積和，且由於n的符號爲負，故將最大的砝碼3放入右邊天平。砝碼3的符號爲負。
3．繼續令n = n – (-3) = (-4) – (-3) = - 1，判斷得|n|∈(1，1]。1是1的累積和，且由於n的符號爲負，故將最大的砝碼1放入右邊天平。砝碼1的符號爲負。
4．繼續令n = n – (-1) = (-1) – (-1) = 0。結果爲零，算法結束。
在以上的每一步中我們都得到了一個所謂的“最大的砝碼”，以下這個砝碼我們稱之爲上界砝碼
算法是一個迭代的過程，用僞代碼描述如下。
輸入：數值n
輸出：各個砝碼的符號
Procedure setBalance( int n) {
While (n != 0) {
找出n的上界砝碼，令其符號與n相同。
令n = n –上界砝碼。
}
}
從僞代碼來看，算法非常簡潔。不過要成爲可運行的程序，還需要有一些輔助性工作。以下是用Java實現該算法的參考代碼。
/*
* @(#)Balance.java 1.0 10/06/13
*
* Copyright 2010 Onion Lab. All rights reserved.
*/
package problem.balance;
/**
* Solves the classic problem: balance.
* @author Chungtow Lai - Zhejiang University
* @version $Date: 2010-06-13
*/
public class Balance {
private static final int NUM_OF_POISE = 4;
int number;
int[] left, right;
int[] sign;
/**
* Construction method.
*/
public Balance(int number) {
this.number = number;
init();
if (number > getSumToK(NUM_OF_POISE)) {
System.out.println("Error: Out of bound!");
} else {
setBalance();
print();
}
}
/**
* Initialization
*/
private void init() {
left = new int[NUM_OF_POISE];
right = new int[NUM_OF_POISE];
sign = new int[NUM_OF_POISE];
for (int i = 0; i < NUM_OF_POISE; i ++) {
sign[i] = 0;
}
}
/**
* Main algorithm
*/
private void setBalance() {
int temp1, temp2, upper;
temp1 = number;
while (temp1 != 0) {
temp2 = Math.abs(temp1);
upper = getUpper(temp2);
sign[upper] = temp1 / temp2;
temp1 -= sign[upper] * power(3, upper);
}
}
private void print() {
int i;
int lj = 0, rj = 0;
for (i = 0; i < NUM_OF_POISE; i ++) {
if (sign[i] > 0) {
left[lj++] = power(3, i);
} else if (sign[i] < 0) {
right[rj++] = power(3, i);
}
}
System.out.print(this.number + "/t/t");
for (i = 0; i < lj; i ++) {
System.out.print(left[i]);
if (i != lj-1) {
System.out.print(",");
}
}
System.out.print("/t/t");
for (i = 0; i < rj; i ++) {
System.out.print(right[i]);
if (i != rj-1) {
System.out.print(",");
}
}
System.out.print("/t/t");
for (i = 0; i < NUM_OF_POISE; i ++) {
int t = sign[i] * power(3, i);
if (t > 0) {
System.out.print("+" + t);
} else if (t < 0) {
System.out.print(t);
}
}
System.out.println();
}
/**
*
*/
private int getUpper(int n) {
for (int i = 1; i <= NUM_OF_POISE; i ++) {
if ((n > getSumToK(i)) && (n <= getSumToK(i+1))) {
return i;
}
}
return 0;
}
/**
* 返回前k個數的和
*/
private static int getSumToK(int k) {
if (k == 1) return 1;
else return (power(3,k-1) + getSumToK(k-1));
}
/**
* Returns the value of the first argument raised to the power of the
* second argument.
* @param x the base.
* @param e the exponent.
* @return the value <code>x<sup>e</sup></code>.
*/
private static int power(int x, int e) {
if (e == 0) return 1;
else return x * power(x, e-1);
}
/**
* Main entry point for invocation.
* @param args The command line arguments.
*/
public static void main(String[] args) {
System.out.println("Number/t/tLeft/t/tRight/t/tFormula");
for (int i = 1; i <= 40; i ++) {
new Balance(i);
}
}
}