Educational Codeforces Round 62 (Rated for Div. 2) E. Palindrome-less Arrays dp 計數 組合數學

題目鏈接：https://codeforces.com/contest/1140/problem/E

題目大意

給定一個串，不能出現長度爲奇數$(len\geq3)$的迴文串，$-1$的位置可以填$1-k$的所有數，問有多少種合法的方案，輸出方案數。

題解思路

思路來源於官方題解，看完就是恍然大悟的感覺。
不能出現長度爲奇數$(len\geq3)$的迴文串 $=$沒有長度爲$3$的迴文串
這樣就可以分奇偶兩個串，相鄰的兩個數不相同。

通過枚舉可以發現，一個連續的$-1$串對答案的貢獻只和$k$以及左右兩個數是否相等有關，和左右兩個數的具體值無關

我用 $dp[len][0/1]$表示長度爲$len$的$-1$串對答案的貢獻，$0$表示串左右兩個數相同 $1$表示左右兩個數不同

比較懶，應該寫個函數的，直接複製了一遍

這是我做的時候隨便寫的樣例，可以發現：
$dp[i][1]$的組成來源於上一長度中在$[1,k]$中不爲當前數的狀態和
就是$dp[i-1][0]*(k-1)$
$dp[i][0]$的組成來源於上一長度中在$[1-k]$中不爲當前數的狀態和
就是$dp[i-1][1]+dp[i-1][0]*(k-2)$

另外還要單獨考慮：
1.全爲$-1$的情況，第一個位置有$k$種選擇，後面的都有$k-1$種選擇，對答案的貢獻就是$k*(k-1)^{len-1}$
2.只有一邊有約束的情況，臨近約束的點有$k-1$種選擇，後面每個數都有$k-1$種選擇，對答案的貢獻是$(k-1)^{len}$

每一部分的貢獻都是乘在$ans$上的（相互獨立）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
#define int ll
#define debug cout<<"fuck"<<endl;
#define pb  push_back
const int mod=(int)998244353;
const int maxn=(int)2e5+5;
int m[maxn];
int dp[maxn][2];
vector<int>a,b;
ll quick_pow_mod(ll a,ll b,ll c)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            res=(res*a)%c;
        }
        a=(a*a)%c;
        b=b>>1;
    }
    return res;
}
int n,k;
void init()
{
    //0表示不同，1表示相同
    dp[1][1]=k-1;
    dp[1][0]=k-2;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        dp[i][1]=(dp[i-1][0]*(k-1))%mod;
        dp[i][0]=(dp[i-1][1]+dp[i-1][0]*(k-2))%mod;
    }
}
signed main()
{
    IOS
    bool fail=0;
    cin>>n>>k;
    init();
    /*for(int i=1;i<=5;i++)
    {
        cout<<dp[i][0]<<' '<<dp[i][1]<<endl;
    }*/
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>m[i];
        if(i%2)a.pb(m[i]);
        else b.pb(m[i]);
        if(m[i]!=-1&&i>=3&&m[i]==m[i-2])
        {
            fail=1;
        }
    }
    if(fail==1)
    {
        cout<<0<<endl;
        return 0;
    }
    int flag;
    ll ans=1;
    for(int i=0;i<a.size();i++)
    {
        int len=0;
        if(a[i]==-1&&i==0)
        {
            len=1;
            while(a[i+1]==-1&&i+1<a.size())
            {
                i++;
                len++;
            }
            if(len==a.size())
            {
                ans*=k*quick_pow_mod(k-1,len-1,mod);
                ans%=mod;
                break;
            }
            else
            {
                ans*=quick_pow_mod(k-1,len,mod);
                ans%=mod;
                continue;
            }
        }
        else if(a[i]==-1&&i>=1)
        {
            int pre=a[i-1];
            len=1;
            while(a[i+1]==-1&&i+1<a.size())
            {
                i++;
                len++;
            }
            if(i==a.size()-1)
            {
                ans*=quick_pow_mod(k-1,len,mod);
                ans%=mod;
            }
            else
            {
                if(a[i+1]==pre)
                {
                    ans*=dp[len][1];
                    ans%=mod;
                }
                else
                {
                    ans*=dp[len][0];
                    ans%=mod;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<b.size();i++)
    {
        int len=0;
        if(b[i]==-1&&i==0)
        {
            len=1;
            while(b[i+1]==-1&&i+1<b.size())
            {
                i++;
                len++;
            }
            if(len==b.size())
            {
                ans*=k*quick_pow_mod(k-1,len-1,mod);
                ans%=mod;
                break;
            }
            else
            {
                ans*=quick_pow_mod(k-1,len,mod);
                ans%=mod;
                continue;
            }
        }
        else if(b[i]==-1&&i>=1)
        {
            int pre=b[i-1];
            len=1;
            while(b[i+1]==-1&&i+1<b.size())
            {
                i++;
                len++;
            }
            if(i==b.size()-1)
            {
                ans*=quick_pow_mod(k-1,len,mod);
                ans%=mod;
            }
            else
            {
                if(b[i+1]==pre)
                {
                    ans*=dp[len][1];
                    ans%=mod;
                }
                else
                {
                    ans*=dp[len][0];
                    ans%=mod;
                }
            }
        }
    }

    cout<<ans<<endl;


    return 0;
}