Educational Codeforces Round 62 (Rated for Div. 2) E. Palindrome-less Arrays dp 计数 组合数学

题目链接：https://codeforces.com/contest/1140/problem/E

题目大意

给定一个串，不能出现长度为奇数$(len\geq3)$的回文串，$-1$的位置可以填$1-k$的所有数，问有多少种合法的方案，输出方案数。

题解思路

思路来源于官方题解，看完就是恍然大悟的感觉。
不能出现长度为奇数$(len\geq3)$的回文串 $=$没有长度为$3$的回文串
这样就可以分奇偶两个串，相邻的两个数不相同。

通过枚举可以发现，一个连续的$-1$串对答案的贡献只和$k$以及左右两个数是否相等有关，和左右两个数的具体值无关

我用 $dp[len][0/1]$表示长度为$len$的$-1$串对答案的贡献，$0$表示串左右两个数相同 $1$表示左右两个数不同

比较懒，应该写个函数的，直接复制了一遍

这是我做的时候随便写的样例，可以发现：
$dp[i][1]$的组成来源于上一长度中在$[1,k]$中不为当前数的状态和
就是$dp[i-1][0]*(k-1)$
$dp[i][0]$的组成来源于上一长度中在$[1-k]$中不为当前数的状态和
就是$dp[i-1][1]+dp[i-1][0]*(k-2)$

另外还要单独考虑：
1.全为$-1$的情况，第一个位置有$k$种选择，后面的都有$k-1$种选择，对答案的贡献就是$k*(k-1)^{len-1}$
2.只有一边有约束的情况，临近约束的点有$k-1$种选择，后面每个数都有$k-1$种选择，对答案的贡献是$(k-1)^{len}$

每一部分的贡献都是乘在$ans$上的（相互独立）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
#define int ll
#define debug cout<<"fuck"<<endl;
#define pb  push_back
const int mod=(int)998244353;
const int maxn=(int)2e5+5;
int m[maxn];
int dp[maxn][2];
vector<int>a,b;
ll quick_pow_mod(ll a,ll b,ll c)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            res=(res*a)%c;
        }
        a=(a*a)%c;
        b=b>>1;
    }
    return res;
}
int n,k;
void init()
{
    //0表示不同，1表示相同
    dp[1][1]=k-1;
    dp[1][0]=k-2;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        dp[i][1]=(dp[i-1][0]*(k-1))%mod;
        dp[i][0]=(dp[i-1][1]+dp[i-1][0]*(k-2))%mod;
    }
}
signed main()
{
    IOS
    bool fail=0;
    cin>>n>>k;
    init();
    /*for(int i=1;i<=5;i++)
    {
        cout<<dp[i][0]<<' '<<dp[i][1]<<endl;
    }*/
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>m[i];
        if(i%2)a.pb(m[i]);
        else b.pb(m[i]);
        if(m[i]!=-1&&i>=3&&m[i]==m[i-2])
        {
            fail=1;
        }
    }
    if(fail==1)
    {
        cout<<0<<endl;
        return 0;
    }
    int flag;
    ll ans=1;
    for(int i=0;i<a.size();i++)
    {
        int len=0;
        if(a[i]==-1&&i==0)
        {
            len=1;
            while(a[i+1]==-1&&i+1<a.size())
            {
                i++;
                len++;
            }
            if(len==a.size())
            {
                ans*=k*quick_pow_mod(k-1,len-1,mod);
                ans%=mod;
                break;
            }
            else
            {
                ans*=quick_pow_mod(k-1,len,mod);
                ans%=mod;
                continue;
            }
        }
        else if(a[i]==-1&&i>=1)
        {
            int pre=a[i-1];
            len=1;
            while(a[i+1]==-1&&i+1<a.size())
            {
                i++;
                len++;
            }
            if(i==a.size()-1)
            {
                ans*=quick_pow_mod(k-1,len,mod);
                ans%=mod;
            }
            else
            {
                if(a[i+1]==pre)
                {
                    ans*=dp[len][1];
                    ans%=mod;
                }
                else
                {
                    ans*=dp[len][0];
                    ans%=mod;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<b.size();i++)
    {
        int len=0;
        if(b[i]==-1&&i==0)
        {
            len=1;
            while(b[i+1]==-1&&i+1<b.size())
            {
                i++;
                len++;
            }
            if(len==b.size())
            {
                ans*=k*quick_pow_mod(k-1,len-1,mod);
                ans%=mod;
                break;
            }
            else
            {
                ans*=quick_pow_mod(k-1,len,mod);
                ans%=mod;
                continue;
            }
        }
        else if(b[i]==-1&&i>=1)
        {
            int pre=b[i-1];
            len=1;
            while(b[i+1]==-1&&i+1<b.size())
            {
                i++;
                len++;
            }
            if(i==b.size()-1)
            {
                ans*=quick_pow_mod(k-1,len,mod);
                ans%=mod;
            }
            else
            {
                if(b[i+1]==pre)
                {
                    ans*=dp[len][1];
                    ans%=mod;
                }
                else
                {
                    ans*=dp[len][0];
                    ans%=mod;
                }
            }
        }
    }

    cout<<ans<<endl;


    return 0;
}