–中國大學生MOOC 王宏志老師大數據算法 聽課筆記–
什麼是亞線性算法？
亞線性算法與線性算法相比，顧名思義區別就在“亞”字上。表示時間/空間複雜度低於線性算法的一種算法的統稱。
具體定義：時間/空間/IO/通訊/能量等消耗o(輸入規模)。
【注】：消耗爲o（輸入規模）而非O（輸入規模）。
亞線性
水庫抽樣算法
水庫抽樣是一種經典的亞線性空間算法。
問題背景：
有時候我們需要在海量數據中進行均勻的抽樣，但是由於海量數據無法進行存儲，所以我們只能讓它從我們面前流過一次。
問題描述：
輸入：一組數據，其大小未知
輸出：這組數據的k個均勻抽樣
要求：
- 僅掃描數據一次
- 空間複雜性爲O(k) 和抽樣大小有關，和整個數據無關
- 掃描到數據的前n個數字時（n>k），保存當前已掃描數據的k個均勻抽樣
算法步驟：
- 申請一個長度爲k的數組保存抽樣。
- 保存首先接收到的k個元素
- 當接收到第i個新元素t時，以k/i的概率隨機替換A中的元素(即生成[1,i]間隨機數j，若j<=k，則以t替換A[j])
算法原理：
當接收到第i個新元素t時，以k/i的概率保存在水庫中，所以在接收第i+1個數時，第i個數還能保存在水庫當中的概率是1-1/(i+1)，因爲在接收到第i+1個數時要以k/(i+1)的概率隨機替換，而第i個數被選中的概率是1/k，它們相乘即爲1/(i+1)。1/(i+1)爲第i個元素被換出水庫的概率，所以1-1/(i+1)就是在接收第i+1個元素時第i個元素在數組中的概率。同理，在接收第i+2個元素時，第i個元素讓然保留在水庫中的概率爲1-1/(i+2)。以此類推，當接收第n個元素時，第i個元素保存在水庫中的概率爲1-1/n。只有這些事件都放生了，最終第i個元素才能保留在水庫當中。因此第i個元素最終被保留在水庫抽樣當中的概率，就是這些事件的概率的乘積，即
算法僞代碼：
Init : a reservoir with the size： k
for i= k+1 to N
M=random(1, i);
if( M < k)
SWAP the Mth value and ith value
end for
平面圖的直徑近似算法
平面圖的直徑近似算法是一種經典的亞線性時間算法。
【註釋】：在圖論中，平面圖是可以畫在平面上並且使得不同的邊可以互不交疊的圖。
【註釋】：近似算法是計算機科學中算法研究的一個重要方向。所謂“近似”，就是指結果不一定是最優的，但是也在可以承受的範圍內，而且可以比精確求解消耗更少的資源。
問題背景：
當輸入的距離矩陣過大時，我們無法通過正常的算法對其進行求解。所以我們希望通過近似算法對其求得一個儘量相似的解。
問題描述：
輸入：m個頂點的平面圖，任意兩點之間的距離存儲在矩陣D中，即點i到點j的距離爲Dij
- 輸入大小是n=m的平方
- 最大的Dij是圖的直徑
- 點之間的距離對稱且滿足三角不等式
輸出：該圖的直徑和距離最大的Dij
要求：運行時間爲o(n)
算法步驟：
- 任意選擇k<=m
- 選擇使得Dkl最大的l
- 輸出Dkl和(k, l)
算法原理：
根據三角不等式，我們可以得到Dij <= Dik + Dkj，又因爲Dkl是我們所求最大值，所以有Dik <= Dkl,Dkj <= Dkl.可以得到Dij <= Dkl+Dkl <= 2Dkl。得到近似比2。
