3.4 等價矩陣 VS. 等價向量組

1 等價矩陣

• 設 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 均是 $m \times n$ 矩陣，若存在可逆矩陣 $\boldsymbol{P}_{m \times m}, \boldsymbol{Q}_{n \times n}$，使得 $\boldsymbol{PAQ}=\boldsymbol{B}$，則稱 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 是等價矩陣，記作 $\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{B}$。
• $\boldsymbol{A}$ 是一個 $m \times n$ 矩陣，則 $\boldsymbol{A}$ 等價於形如 $\begin{bmatrix}\boldsymbol{E}_{r(\boldsymbol{A})} & \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0}\end{bmatrix}$ 的矩陣，後者稱爲 $\boldsymbol{A}$ 的等價標準型。
• 等價標準型唯一

2 等價向量組

設兩個向量組 $\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s]$，$\boldsymbol{B}=[\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t]$.

• 若 $\boldsymbol{A}$ 中的每個 $\boldsymbol{\alpha}_i(i=1,2,\cdots,s)$ 均可由 $\boldsymbol{B}$ 線性表出，則稱向量組 $\boldsymbol{A}$ 可由向量組 $\boldsymbol{B}$ 線性表出。
• 若向量組 $\boldsymbol{AB}$ 可以相互線性表出，則稱向量組 $\boldsymbol{A}$ 與向量組 $\boldsymbol{B}$ 是等價向量組。
• 等價向量組滿足：
  • $A \cong B$（反身性）
  • 若 $A \cong B$，則 $B \cong A$（對稱性）
  • $A \cong B$，$B \cong C$，則 $B \cong C$（傳遞性）
• 向量組和它的極大線性無關組是等價向量組。