命題邏輯及形式系統【下】
在上一篇文章中我們已經討論了由原子命題和邏輯聯結詞構成的命題公式。下面我們來探討一下命題公式的分類，以及其中較爲重要的重言式。
一、重言式
命題公式可以從真值的角度進行分類：
重言式，（永真式）tautology：命題變元的所有賦值都是命題公式的成真賦值
矛盾式（永假式、不可滿足式）contradiction：命題變元的所有賦值都是命題公式的成假賦值
可滿足式(contingency)：命題公式至少有一個成真賦值
其中，需要分清的概念是：永真式都是可滿足式。矛盾式都不是可滿足式。非永真式並不都是永假式。如果A是永真式，則¬A就是永假式，反之亦然。
例如：A∨¬A是重言式（排中律） A∧¬A是矛盾式（矛盾律）
二、邏輯等價式和邏輯蘊涵式
- 邏輯等價式(logical equivalent)
〉 當命題公式 A↔B 是重言式時，則稱 A 邏輯等價於 B，記作 A╞╡B，稱作邏輯等價式
〉 也可以理解爲公式A和公式B等值
〉 邏輯等價體現了兩個公式之間的一種關係：在任何賦值狀況下它們都等值
一些重要的邏輯等價式（A,B,C是任意公式）
〉 E1：¬¬A╞╡A（雙重否定律）
〉 E2：A∨A╞╡A，A∧A╞╡A（冪等律）
〉 E3：A∨B╞╡B∨A， A∧B╞╡B∧A（交換律）
〉 E4：(A∨B)∨C╞╡A∨(B∨C)，(A∧B)∧C╞╡A∧(B∧C)（結合律）
〉 E5：A∧(B∨C)╞╡(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)╞╡(A∨B)∧(A∨C)（分配律）
〉 E6：¬(A∨B)╞╡¬A∧¬B， ¬(A∧B)╞╡¬A∨¬B（德摩根律）
〉 E7：A∨(A∧B)╞╡A， A∧(A∨B)╞╡A（吸收律）
〉 E8：A→B╞╡¬A∨B（蘊涵等值式）
〉E9：A↔B╞╡(A→B)∧(B→A)（等價等值式）
〉 E10：A∨t╞╡t，A∧f╞╡f（零律）
〉 E11：A∨f╞╡A，A∧t╞╡A（同一律）
〉 E12：A∨¬A╞╡t， A∧¬A╞╡f（排中律和矛盾律）
〉 E13：¬t╞╡f，¬f╞╡t
〉 E14：A∧B→C╞╡A→(B→C)
〉 E15：A→B╞╡¬B→¬A（假言易位）
〉 E16：(A→B)∧(A→¬B)╞╡¬A（歸謬論）
〉 E17：A↔B╞╡(A∧B)∨(¬A∧¬B)（等價等值式2）
- 邏輯蘊涵式 (logical implication)
當命題公式A→B是重言式時，則稱A邏輯蘊涵B，記作 A╞B，稱作邏輯蘊涵式
〉 也可以理解爲公式A的所有成真賦值都是公式B的成真賦值
〉 每個邏輯等價式可以看作兩個邏輯蘊涵式，也就是說A╞╡B也有A╞B,B╞A
A和B等值，所以A→B和B→A都是重言式
〉 邏輯蘊涵體現了兩個公式A B之間的另一種 關係：在任何賦值狀況下只要A真，B都真
一些重要的邏輯蘊涵式（A,B,C是任意公式）
〉 I1：A╞A∨B
〉 I2：A∧B╞A
〉 I3：A∧(A→B)╞B
〉 I4：(A→B)∧¬B╞¬A
〉 I5：¬A∧(A∨B)╞B
〉 I6：(A→B)∧(B→C)╞A→C
〉 I7：(A→B)∧(C→D)╞(A∧C)→(B∧D)
〉 I8：(A↔B)∧(B↔C)╞A↔C
- 邏輯結果
〉 邏輯蘊涵經常會被推廣爲 Γ╞B 的形式，其中Γ是一系列公式，表示 B 是 Γ 的邏輯結果
〉 即：使Γ中每一個公式成真的賦值，都是公式 B 的成真賦值，即Γ中的所有公式的合取邏輯蘊涵 B
〉 當Γ中僅包含一個公式A時，就是A╞B； 如果Γ中不包含任何公式，記做╞B，表示 “B永真”
- 邏輯等價式和邏輯蘊涵式的幾個重要性質
命題公式關係的自反、對稱、傳遞等性質
〉 A╞╡B當且僅當╞A↔B
〉 A╞B當且僅當╞A→B
〉 若A╞╡B，則B╞╡A
〉 若A╞╡B， B╞╡C，則A╞╡C
〉 若A╞B，則¬B╞¬A
〉 若A╞B， B╞C，則A╞C
〉 若A╞B，A╞╡A’，B╞╡B’，則A’╞B’
三、代入原理和替換原理
重言式的代入原理(rule of substitution) RS
〉 將重言式A中的某個命題變元p的所有出現都代換爲命題公式 B，得到的命題公式記作A(B/p)，A(B/p) 也是重言式。
〉 因爲重言式A的真值與p的取值狀況無關，恆爲 t，所以將p全部代換後的公式A(B/p)的真值也恆爲t
注意：僅代換部分出現本原理不成立，
命題公式的替換原理(rule of replacement) RR
〉 將命題公式A中的子公式C的部分出現 替 換 爲 和 C 邏 輯 等 價 的 公 式D（C╞╡D ），得到的命題公式記作B，則A╞╡B。
〉 因爲C和D（在任何賦值下）等值，所以用 D替換C不會改變A的真值
〉 注意：不要求全部出現都替換
四、證明邏輯等價式和邏輯蘊涵式
常用來證明邏輯等價式的方法有如下幾種方法：
〉 真值表法：要證明 A╞╡B，A╞B，只要：分別列出A↔B和A→B的真值表，最後一列全爲真即可。
〉 對賦值進行討論：要證明 A╞B，只要證明：A的任意一個成真賦值都是B的成真賦值或者 B的任意一個成假賦值都是A的成假賦值。如果證明了A╞B和B╞A，那麼就證明了A╞╡B。
〉 推演法：利用已知的重言式、邏輯等價式和邏輯蘊涵式，採用代入原理和替換原理進行推演。
下面是一些推演法證明邏輯等價式和邏輯蘊含式的兩個例子：
證：(A∨B)→C╞╡(A→C)∧(B→C)
〉 (A∨B)→C
〉 ╞╡¬(A∨B)∨C（蘊涵等值式，代入原理）
〉 ╞╡(¬A∧¬B)∨C（德摩根律，替換原理）
〉 ╞╡(¬A∨C)∧(¬B∨C)（分配律，代入）
〉 ╞╡(A→C)∧(¬B∨C)（蘊涵等值式，替換）
〉 ╞╡(A→C)∧(B→C)（蘊涵等值式，替換）
證：A∧B╞¬A→(C→B)
〉 A∧B
〉 ╞B（I2：A∧B╞A）
〉 ╞¬C∨B（I1：A╞A∨B，代入）
〉 ╞C→B（蘊涵等值式，代入）
〉 ╞A∨(C→B)（I1：A╞A∨B，代入）
〉 ╞¬A→(C→B)（蘊涵等值式，代入）
五、範式
- 範式：概念及基本術語
〉 每個命題公式都會存在很多與之邏輯等價的公式。
〉 範式：在命題公式的多個邏輯等價的形式中，較爲符合“標準”或“規範”的一種形式。
〉 文字(literals)：命題常元、變元和它們的否定。前者稱正文字，後者稱負文字，如：p, ¬q, t
〉 析取子句(disjunctive clauses)：文字或者若干文字的析取，如：p, p∨q, ¬p∨q
〉 合取子句(conjunctive clauses)：文字或者若干文字的合取，如：p, p∧q, ¬p∧q
〉 互補文字對(complemental pairs of literals)：指一對正文字和負文字，如：p和¬p
- 析取範式 (disjunctive normal form)
〉 公式A’稱作公式A的析取範式，如果： A’╞╡A ， A’ 爲合取子句或者若干合取子句的析取
〉 p→q的析取範式爲 ¬p∨q（合取子句¬p和q的析取）
〉 ((p→q)∧¬p)∨¬q的析取範式爲 ¬p∨(q∧¬ p)∨¬q
- 合取範式(conjunctive normal form)
〉 公式A’稱作公式A的合取範式，如果： A’╞╡A
〉 A’爲析取子句或者若干析取子句的合取
〉 p→q的合取範式爲 ¬p∨q（析取子句¬p∨q）
〉 ((p→q)∧¬p)∨¬q的合取範式爲 (¬p∨t)∧(¬p∨¬q) 或 ¬p∨¬q
一般使用邏輯等價式和代入原理、替換原理，可以求出任一一個公式的析取範式和合取範式。同時範式用於重言式和矛盾式的識別。例如：
重言式識別
〉 合取範式中每個析取子句都包含了至少一個互補文字對：(p∨¬p∨q)∧(p∨q∨¬q)
矛盾式識別
〉 析取範式中每個合取子句都包含了至少一個互補文字對：(p∧¬p∧q)∨(p∧q∧¬q)
一個公式的析取範式或合取範式都不是唯一的，公式的析取範式有可能同時又是合取範式。例如¬p∨q既是p→q的析取範式又是合取範式，那麼能否找到“最爲規範”的範式？同時具備唯一性的範式呢？ 那就應該是主範式。
- 主範式
主析取範式 (major disjunctive form)：公式 A' 稱作公式A(p1, p2, …pn)的主析取範式，
如果： A' 是A的析取範式，A'中每一個合取子句裏p1, p2, …pn均恰出現一次
主合取範式(major conjunctive form)： 公式A'稱作公式A(p1, p2, …pn)的主合取範式，
如果：A'是A的合取範式，A'中每一個析取子句裏p1, p2, …pn均恰出現一次
此外，我們可以通過證明主範式（析取或者合取範式）的存在性和唯一性。即他們是存在且唯一的。
- 邏輯聯結詞的完備性
在之前我們已經提到過了關於邏輯詞的完備性問題。
如果任意一個真值函數都可以用僅包含某個聯結詞集中的聯結詞的命題公式表示，則稱這個聯結詞集爲功能完備集
如果在去掉邏輯詞完備集中的冗餘的聯結詞就是極小的功能完備性。比如：{¬,→}， {¬,∧}， {¬,∨}都是極小功
能完備集
六、形式系統和證明、演繹
重言式反應了人類邏輯思維的基本規律，如下所示：
〉 排中律A∨¬A╞╡t
〉 矛盾律 A∧¬A╞╡f
〉 假言推理A∧(A→B)╞B
〉 歸謬推理(A→B)∧¬B╞¬A
〉 窮舉推理(A∨B)∧(A→C)∧(B→C)╞C
因爲真值計算、以代入原理、替換原理進行推演，難以反應人類思維推理過程，所以需要建立嚴密的符號推理體系，即形式系統。
- 形式系統
形式系統是一個符號體系：系統中的概念由符號表示，推理過程即符號變換的過程，以若干最基本的重言式作爲基礎，稱作公理（axioms）
〉 系統內符號變換的依據是若干確保由重言式導出重言式的規則，稱作推理規則（rules of inference）
〉 公理和推理規則確保系統內由正確的前提總能得到正確的推理結果
- 證明與演繹：證明Proof〉
公式序列A1,A2,…,Am稱作Am的一個證明，如果Ai(1≤i≤m)： 或者是公理； 或者由 Aj1,…,Ajk(j1,…,jk<i) 用推理規則推得。
當這樣的證明存在時，稱Am爲系統的定理 (theorem)，記作┠*Am（*是形式系統的名稱），或者簡記爲┠Am
- 證明與演繹：演繹Deduction
設Γ爲一公式集合。公式序列 A1,A2,…,Am稱作Am的以Γ爲前提的演繹，如果Ai(1≤i≤m)：或者是Γ中的公式，或者是公理，或者由Aj1,…,Ajk(j1,…,jk<i)用推理規則推得
當有這樣的演繹時， Am稱作Γ的演繹結果，記作Γ┠*Am（*是形式系統的名稱），或者簡記爲Γ┠Am
〉 稱Γ和Γ的成員爲Am的前提(hypothesis)
〉 證明是演繹在Γ爲空集時的特例
七、命題演算形式系統 PC (Proposition Calculus)
我們將命題以及重言式變換演算構造爲形式系統，稱爲命題演算形式系統PC（由命題邏輯和形式系統上可知不是惟一的）
〉 首先，是PC的符號系統
〉 命題變元：p,q,r,s,p1,q1,r1,s1,…
〉 命題常元：t,f
〉 聯結詞：¬,→（注意是最小功能完備集）
〉 括號：(,)
〉 命題公式：（高級成分，規定了字符的合法組合方式）
命題變元和命題常元是公式
如果A,B是公式，則(¬A)，(A→B)均爲公式（結合優先級和括號省略約定同前）只有有限次使用上面兩條規則得到的符號串纔是命題公式。
〉 PC 的公理（A,B,C表示任意公式）
〉 A1:A→(B→A)
〉 A2:(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
〉 A3:(¬A→¬B)→(B→A)
〉 PC的推理規則（A,B表示任意公式）
〉 A, A→B / B（分離規則）
以上就是命題演算形式系統的定義，它滿足合理性、一致性、完備性。
合理性Soundness說明：
首先，PC中的公理A1,A2,A3都是重言式；其次，PC的分離規則是“保真”的，就是如果A真，A→B真，總有B真。
這樣： 由公理和規則導出的定理都是重言式，由Γ、公理和規則導出的公式，在Γ中的公式都爲真時也爲真。
一致性(consistency)
沒有公式A，使得┠PCA和┠PC¬A同時成立（不會出現自相矛盾），由PC的合理性容易證明。
完備性(completeness)
如果公式A是重言式，則A一定是PC中的定理（如果╞A，則┠PCA）
〉 如果公式A是公式集合Γ的邏輯結果，則A一定是Γ的演繹結果（如果Γ╞A，則Γ┠PCA）。
證明略。
〉 合乎邏輯的命題，在PC中一定能推導出來
- 三個元定理
演繹定理
〉 對任意公式集合Γ和公式A,B， Γ┠A→B當且僅當Γ∪{A}┠B。當Γ=ø時，┠A→B當且僅當{A}┠B，或A┠B
歸謬定理
〉 對任何公式集合Γ和公式A,B，若 Γ∪{¬A}┠B，Γ∪{¬A}┠¬B，那麼Γ┠A 。
意義：如果同一組前提能推導出相互矛盾的結果，說明這組前提之間相互不一致，也就是說總有一些前提是其餘前提的對立面
窮舉定理
〉 對任何公式集合Γ和公式A,B，若Γ∪{¬A}┠B，Γ∪{A}┠B。那麼Γ┠B
意義：如果一個前提能推出結論，這個前提的反面也能推出同樣的結論，說明結論的成立與此前提是否成立無關。
八、形式系統的判定性問題
形式系統定義就是符號串集合的構造性定義
〉 符號體系規定了符號串可能包含的字符（或字符的合法組合模式，詞）
如PC中的命題變元、常元和公式的定義
〉公理規定了幾個集合中的符號串（或者這種符號串的模式）。如PC中的公理，實質是公理模式
〉推理規則規定了從集合中已知符號串變換生成集合中其它符號串的方法。如PC中的分離規則
- 符號串的構造過程
〉 形式系統中的定理就是在集合中的符號串
〉 定理的證明過程就是符號串的構造過程，這個過程需要在有限步內結束。
- 定理判定問題
〉 給定一個命題公式，判定是否形式系統中的定理，給出定理的證明。
〉 給定一個符號串，判定是否在集合裏，給出構造的過程。
〉 能否單靠形式系統本身的公理和推理規則在有限步驟內判定定理和非定理呢 ？
一個簡單的形式系統，比如侯世達-集異壁書中的 MIU 形式系統。其實僅靠自身的公理和推理規則是很難判定一個公式是否在該形式系統中的，一般可以找到與該形式系統同構的系統，而在新的同構的系統中比較容易判斷。從而藉助外面的系統進行判斷。 在 MIU系統它同構了一個自然數系統，如 310 ，在由素數的性質進行了判斷。那我們不禁會想了命題演算形式系統（PC符號體系）呢？ 一個符合PC符號體系定義的命題公式，是否是PC中的定理嗎？ 容易判定嗎？
其實同樣，僅用PC系統中公理和分離規則難以保證能在有限步驟判定一個命題公式是否定理。
但是幸運的是，命題演算系統PC有一個非常重要的同構：真值函數運算系統
〉 只需要用真值表判定命題公式對應的真值函數是否重言式，即可判定是否PC中的定理，
〉 真值表的運算是有限步驟可以完成的，所以我們就可以對PC中的定理進行判定了。
（注意：真值表並不是PC中的成分，也可以認爲是尋找的外在同構的 真值函數運算系統）