實數系統的構造與發展歷程

一、第一次數學危機與畢達哥拉斯學派

1、2、3、……，自然數就好像是大自然的母語，它獨立於人的思維而存在，甚至很多動物都會簡單的計數。考古學有足夠的證據表明，遠遠早於人類文明之前，人們就開始有意識地計數了。到了古希臘時期，以各種政治宗教團體爲代表，人們對知識的認知達到了空前的程度，其中影響最大的當屬“畢達哥拉斯學派”。畢達哥拉斯曾求學於古希臘聖賢，並遊歷周邊世界，回國後創辦了學派。與此同時該學派還信奉 “萬物皆數” 的信條，這裏的數就是指自然數和表現爲自然數之比的有理數。

古希臘人對有理數的研究十分深入，在丟潘圖時代達到了至高點，但之後便隨着時代一起沒落了。其實在早前，希帕索斯就已經發現√2並不是有理數，這一發現使得畢達哥拉斯學派極其恐慌，他們將希帕索斯和真理一起埋藏到了大海之中。但畢竟紙裏包不住火，質疑聲越來越的強烈，人們對自己的信仰甚至產生了懷疑，史稱“第一次數學危機”。最終人們不得不承認這種數的存在，並且稱其爲“不可公約數”，然後用兩條線段之比來表示它，歐幾里得的《幾何原理》是這套理論的典型代表。然而頑固的反對者卻一直存在，即使是偉大的達芬奇也稱它爲“無理數”。

相信很多人有這樣的記憶，在小學和初中時，0並不是自然數，但到了高中卻突然變成了自然數。這個問題曾經一度引起爭論，它也正體現了人們對0的認識過程。0很早地就被中國、印度這樣的東方國家隨意使用着，但直到中世紀阿拉伯數字的普及，歐洲世界才逐漸地接受了它。直觀地講，0的現實意義並不是很“自然”，因爲“沒有”是不需要計數的，再加上0不能做除數，人們將它排除在自然數之外也就情有可原。在近代的集合論和公理系統中，將0作爲萬物起始，將1作爲度量單位，更符合現代人的認識，理論系統在這裏取代了直覺。

在初中先是學的負數，然後再學的無理數（根號）。相對無理數而言，負數只是在減法上的擴展，接受起來並沒有障礙。但在歷史上，負數的出現卻遠遠晚於無理數，而且同樣也不受人待見。直到17世紀末還存在着爭議，連帕斯卡、萊布尼茲這樣的大數學家都公開反對負數，認爲它們根本是不存在的。由於先入爲主的觀念，有人可能無法理解，負數爲什麼難以接受？但只要想想你能否接受虛數，這也就變得不那麼難理解了，因爲它們同樣都是“不存在”的數。

經歷了多次新數誕生的陣痛，人們已經認識到，數並非一定要是“存在”的，它們是運算完備性需求的必然產物。但數也不能盲目擴張，它們必須產生於運算的擴展，也必須受制於運算律的約束。隨着公理化系統和代數學的發展，人們有了足夠的工具和信心去解構數的本質，並隨之創造出了包括“四元數”和“無窮小”在內的新型數。

二、實數的構造

人們在工作和生活中熟練地使用着數，只要按照運算律進行計算，就不用懷疑結果是否正確。面對着那些似乎天經地義的運算法則，一般人根本不會多想，更看不出什麼花樣來。即使是碰到了似是而非的概念，大部分人也是選擇視而不見，因爲它們似乎並不影響最終的結果。然而數作爲大自然的語言，數學家們並不甘心只是把它當做一般的對話工具，而是想通過它與世界進行更深層次的交流，並將其轉變成探索世界的武器。

事實證明，對於簡單問題的深入思考，有時候會顛覆人們的傳統認識，數學史上的重大發現很多都來自一些“基本問題”，並且新理論總會讓人離真相更近一步。我們先不急於看到真相，而是從故事開始的地方，追尋先人的步伐，總有一天，你也會走出自己的步調。在“集合論”中大家已經感受過自然數的公理化定義，下面我們將繼續進行數的構造相關的內容介紹。

1. 自然數

　　用集合定義自然數雖然完美，但不符合直覺，一般人不容易想到。歷史上較早出現的定義來自皮亞諾（Peano）的公理系統，之前我們順帶提過，現在就來看看它的具體內容吧。皮亞諾公理是說自然數集NN滿足以下公理：

　　（I）1∈N。1是自然數，但1不作定義。

　　（II）a∈N ⇒ ∈N。任何自然數都有一個“後繼”，它也是自然數。

　　（III）= ⇒ a=b。後繼相等的兩個自然數也相等。

　　（IV）∀a(≠1)。1不是任何自然數的後繼。

　　（V）M⊂N∧1∈M∧(a∈M ⇒ ∈M) ⇒ M=N。歸納公理。

　　皮亞諾公理更符合直覺的認識，理解起來也沒有困難。11和“後繼”不作定義，前兩條公理確定了自然數的鏈式結構，後面兩條避免了環的產生，最後的歸納公理排除了多餘的元素，它是數學歸納法的依據。這裏的很多概念與集合論中的定義十分相像，它們同樣也可以推導出自然數的各種性質，並且嚴格地定義加法、乘法、大小，以及證明各種運算律。

　　你可以親自嘗試一下下面的這些證明和定義，因爲通過研究和摸索，你會驚歎從這幾條簡單的公理居然可以推出那麼多的性質，並且很多看似顯然的結論證明起來卻並不輕鬆。通過練習，你更能感受到抽象和研究的魅力，感受各種性質的可證性，並認識到嚴格定義數的必要性。這裏簡單列一些問題：

　　• 任何自然數不以自己爲後繼；

　　• 除1外任何自然數都是別人的後繼；

　　• 定義加法、乘法，證明交換律、結合律、分配率、消去律；

　　• 定義大小，證明其傳遞性、三歧性、運算下的單調性；

　　• n和其後繼之間沒有其它數；

　　• 最小數原理。

　　有心的讀者可能注意到，集合論中我們是以0作爲自然數的起點的，而這裏卻是以1爲起點。其實單純從自然數的結構來說，起點叫什麼並不重要，區別主要發生在加法和乘法的定義裏。0會讓運算的定義變得複雜，這裏我們選擇推遲引入，好讓大家把注意力集中在構造的原理和方法上。

2. 有理數

　　自然數有加法和乘法運算，但它們的逆運算卻並不總是有意義的，需要根據這個需求對自然數進行擴展。不管是差還是商，都可以用一個自然數對錶示，從而負數和分數皆可以定義爲數對。爲了減少0的影響，可以先定義正分數。按照除法的性質可以定義自然數對的“相等”，等價的自然數對被定義爲正分數，並將自然數嵌入其中。然後依次定義大小、四則運算、運算律、倒數。

　　正分數要比自然數多出許多，一些新的性質是需要被明確指出的。一個是顯然的稠密性，它是說任何兩個正分數之間都存在另一個正分數，這個是比較容易構造出來的。另一個就是阿基米德性：對任何正分數x,y，都存在自然數n，使得 x<ny。你可能覺得阿基米德性也很顯然，但請考慮一下“集合論”中的超限數，在那裏它是不成立的。阿基米德性被頻繁地使用，你甚至覺察不出它是一條性質，但是從公理出發它並不是那麼明顯，你可以嘗試證明一下。稠密性和阿基米德性在有理數和實數中同樣成立，那裏就不再重複說明了。

　　自然數在除法上擴展後，需在減法上繼續擴展。類似於正分數的定義，先要在減法的意義上定義正分數對的“相等”，然後將等價的正分數對定義爲有理數，並將正分數嵌入其中。接着類似地定義大小、四則運算、運算律、相反數、絕對值。有理數集被記爲Q，自然數在減法運算下的擴展被稱爲整數Z。

　　有理數在加法和減法上已經完全封閉，而且它貌似已經佈滿數軸，我們好像不再需要別的數了。畢達哥拉斯當初也是這樣自信，但在經典的√2是無理數的證明面前，最終還是一籌莫展。一個稠密的點集之間居然還有未知的數存在，人們對看似簡單的數軸突然產生了戒心，這些幽靈一樣的數該如何定義？

　　現在在此處我們不妨停留一下，思考一下如何證明 √D（D爲非平方自然數）是無理數？如果僅限於初等方法，我們這裏的證明思想叫做無窮遞降法，它發明於古希臘時期，現在在數論中仍有廣泛的應用。

2.1 關於無窮遞降法

無窮遞降法是數學中的一種反證法。

設 P是關於集合 A 的元素的命題，函數 f 將 A 上的元素映射爲實數。如果我們要證明 P 對 A 的每一個元素都不成立，我們可以假設 A 上使得 P 成立的元素構成非空子集 B ，然後取 B 中使得 f 取最小值的元素，利用構造出另一個，它滿足：

命題 P 對成立，即 $x_2 \in B$
對 A 的任何非空子集， f 都能取到最小值。

由於已經假設 B 上 f 的最小值爲，與第二點矛盾，從而原假設“ B 非空”不成立。稍等， f 真的能在 B 上取到最小值嗎？未必。所以我們需要一個附加條件： 3. f 能在 B 上取到最小值。不過一般上，我們並不能事先知道 B 的結構如何，所以一般都是使用這個條件代替條件 3 ：對 A 的任何非空子集， f 都能取到最小值。

然而，在實際應用上，無窮遞降法的形式非常多變，非常靈活。關於它的例子，可參見這裏。下面我們來證明對於任意的非平方自然數的根號 $\sqrt D$ 的無理性。

法一：

設整數 D 可分解爲P1*P2*...*Pi(Pi爲素數)
假設 $\sqrt D = \frac{n}{m}$ (n, m 互素) 的形式,其中 m 是 $\sqrt D$ 的所有(整數的)分式表示中，能作爲分母的最小正整數。之所以可以這樣假設，是因爲正整數集的任意子集都有最小元。下面我們構造分母比 m 小的分式。由 $\sqrt D = \frac{n}{m}$ 得
因爲D爲非完全平方數，則D的素因數至少有一個出現的次數爲單數，

設最小的這個數爲 Pk 則 n^2 | Pk （PS：a|b 表示a 可以被b 整除）從而n | Pk。
設，帶入方程中 $a^2P_k^2 = P_kP_1.P_{k-1}P_{k+1}..P_nm^2$ 化簡後，
$a^2P_k = P_1.P_{k-1}P_{k+1}..P_nm^2$ ，因爲Pi都是素因子，故
同理 m^2|Pk, 從而 m| Pk。設 , $\frac{n}{m} = \frac{aP_k}{ bP_k } = \frac{a}{b}$
但此時的分母 b < m,故與假設矛盾。故√P爲無理數.

法二：
如果 $\sqrt D$ 可表示爲既約分數 $\frac{p}{q}$ ，

因爲有

故總可以構造 0<p−mq<q ，利用可

以構造出 $\dfrac{nq-mp}{p-mq}=\dfrac{p}{q}$ ，它的分母比q小，這是不可能的。故假設不成立

3. 實數

3.0 關於戴德金分割的簡介

戴德金原理(Dedekind principle)亦稱戴德金分割，是保證直線連續性的基礎，其內容爲：如果把直線的所有點分成兩類，使得：1.每個點恰屬於一個類，每個類都不空。2.第一類的每個點都在第二類的每個點的前面，或者在第一類裏存在着這樣的點，使第一類中所有其餘的點都在它的前面；或者在第二類裏存在着這樣的點，它在第二類的所有其餘的點的前面。這個點決定直線的戴德金割切，此點稱爲戴德金點(或界點)，戴德金原理是戴德金((J.W.)R.Dedekind)於1872年提出來的，在構造歐氏幾何的公理系統時，可以選取它作爲連續公理，在希爾伯特公理組Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的基礎上，阿基米德公理和康托爾公理合在一起與戴德金原理等價。

定義1 若將實數 R 分成兩個子集S和T，它們滿足：

$(1) S \neq \varnothing, T \neq \varnothing;$

$(2) R = S \cup T;$

$(3) \forall x \in S, \forall y \in T$ ，總有 x<y (稱S爲左集，T爲右集)

則稱爲實數集R的一個“戴德金分劃”，記作(S，T) 。

“戴德金分劃”的第一條要求是左集S與右集T都不是空集，也就是說它們中都有實數，簡稱爲不空。第二條要求是S和T包含了所有的實數，換句話說，對於任何一個實數或者屬於左集S或者屬於右集T，二者必居其一，簡稱爲不漏。第三條要求是左集S中的實數都比右集T中的實數小，簡稱爲不亂。由第三條可以推知左集中的實數不會在右集中出現，右集中的數也不會在左集中出現。若x屬於左集，凡小於x的實數也都屬於左集，若y屬於右集，凡大於y的實數也都屬於右集。

例如令

讀者可以驗證(S，T)是一個戴德金分劃，再如令

S={x∈R | 存在自然數n，使 }，T={x∈R | x≥1}。

這也確定了一個戴德金分劃(S，T)。

第一個戴德金分劃中，左集S有最大數 $\sqrt 2$ ，而右集T沒有最小數；第二個戴德金分劃正相反，左集S沒有最大數，而右集T有最小數1。 $\sqrt 2$ 和1都叫做相應的戴德金分劃的中介點。一般說來，實數上的戴德金分劃必有中介點，下面的定理便說明這一點，而在有理數集上若類似地作一個戴德金分劃就不一定有中介點了。例如若令S={x∈Q | x≤0，或x2≤2)，T={x∈Q | x>0，且x2>2)則(S，T)構成對有理數集 Q的戴德金分劃，但左集S無最大數；右集T無最小數，也就是(S，T)沒有中介點。

戴德金原理 實數集R的任一戴德金分劃(S，T)，都唯一地確定一個實數 $\alpha$ (稱爲中介數或中介點)，它或者是S的最大數(此時T中無最小數)、或者是T的最小數(此時S中無最大數)。

3.1 戴德金分割形式化

　　歷史上最成功的實數定義來自戴德金，他將有理數集QQ分割爲左右兩個非空集合ξ, ξ¯，其中右集ξ¯中的元素皆大於左集ξ中的元素，且左集沒有最大值。戴德金將ξξ被定義爲一個實數，實數集記作R。當右集中有最小值r時，這一刀正好切在有理數r上，這個分割就是r對應的實數。當右集中沒有最小值時，它當然就是我們需要的無理數。在繼續前進之前，先用幾個問題複習一下概念，也順便熱熱身。

　　• “右集的元素大於左集的元素”這一條件等價於： $r\in\bar\xi \wedge r'<r\Rightarrow r'\in\xi$ ；

　　• $\sqrt 2$ ∈R；

　　• 對任意ε>0，都有 $\exists r\in\xi,\overline{r}\in\overline\xi(\overline{r}-r<\varepsilon)$ 。

　　下面先來定義實數的大小：當ξ⊂η時，定義ξ<η，容易證明該定義的三歧性和傳遞性。接下來就是定義加法和乘法，以及它們的運算律。親自定義並證明這些概念會提高你對嚴格定義的認同感，下面是加法的定義，希望你能從證明它的合法性開始進行探索。
$\xi+\eta=\{a+b|a\in\xi,b\in\eta\}$

　　我們的主要問題是：這樣定義的實數能否佈滿數軸呢？換句話說，在數軸上一刀切下去，切到的必然是實數嗎？類似於戴德金分割，將實數集N分割爲左右集X,X¯，我們要證明的是：X¯中必有最小值，因爲它就是分割點。考察所有左集之並ξ=∪X，先證明ξ是一個實數，然後證明它不小於X中的任何數且不大於X¯中的任何數，所以它必是X¯的最小值。這就證明了我們的結論，實數在數軸上沒有空隙，這個性質被稱爲實數的完備性或連續性。實數的完備性是它區別於其它數的最大特性，它是分析學的根基，我們將在下一篇對它進行深入探討，並給出與完備性等價的幾個實數基本定理。

3.2 康托爾定義

　　早在19世紀的上半頁，柯西、維爾斯特拉斯等人就着手進行分析學的嚴格化工作，其中就包括實數的嚴格定義。柯西將實數定義爲有理數序列的極限，但他並沒有發覺，他的定義中事先承認了極限這個“數”的存在，所以它是個循環定義。在繼續前進之前，我們需要幾個概念。序列a0,a1,a2,⋯稱爲一個數列（sequence），記作{an}，an稱爲數列的通項。數列可以看作是某個數集到自然數集的映射，若數列滿足以下條件，它稱爲基本序列或柯西數列。柯西就是把實數定義爲基本序列的極限，本篇不打算引入極限，而統統將之取代爲基本序列，在下一篇中我們將看到它們其實是等價的。
$\forall\varepsilon>0\exists N(m,n>N\Rightarrow\left|{a_m-a_n}\right|<\varepsilon)$

　　若兩個基本序列{an},{a′n}{an},{an′}滿足以下條件，稱它們爲等價的，記作{an}∼{a′n}。容易證明∼是一個等價關係，康托爾將有理數基本序列的等價類[{an}]定義爲一個實數。僅用有理數rr組成的數列{r}顯然是基本序列，它所在的等價類就被定義爲有理數數rr，不同的有理數是不等價的。

$\forall \varepsilon>0\exists N(n>N\Rightarrow\left|{a_n-b_n}\right|<\varepsilon)$

　　對兩個實數α,β，取其代表序列 {an},{bn}，容易證明n足夠大時必有an>bn或an<bn成立，這可以作爲實數大小的定義。下面是實數加法的定義，乘法和運算律留給讀者完成。

$[\{a_n\}]+[\{b_n\}]=[\{a_n+b_n\}]$

　　如上所述，不與某個有理數等價的基本數列應當就是無理數了，它們能否填滿數軸的空隙？即任何實數是否都可以逼近，用本節的語言就是實數基本數列是否必然與某個實數等價？這裏會出現實數距離的概念，可以暫且定義爲其代表序列的距離。對實數基本序列 $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\cdots$ ，取其代表有理數序列 $\{a_{0n}\},\{a_{1n}\},\{a_{2n}\},\cdots$ 。考察有理數列 $a_{00},a_{11},a_{22},\cdots$ 先證明它是基本數列，再證明它所代表的實數就是要找的數，這就證明了實數的完備性。

3.3 展望

　　戴德金分割和康托爾定義的實數之間可以建立一一映射，它們是同構的，在歷史上都有着很高的地位。但由於表達上的繁瑣和定義的差異，不便於在論證中直接使用，下篇將介紹的實數基本定理與它們是等價的，而且更容易理解和使用，今後會使用它們作爲實數完備性的等價物。

　　實數表示一條直線上的點，那麼平面上的每個點能否表示數呢？高斯將複數和二維平面的點對應起來，徹底回答了這個問題。你可能會樂觀地猜測空間上的每一點也能表示數，這個說法不能算錯，因爲我們連數的定義都沒有！隨着抽象代數的成熟，人們把數看成是滿足一定運算法則的代數系統。可惜的是，複數已經是滿足現有運算律的最大系統了，想要再大的話就必須犧牲掉一些運算律，比如哈密爾頓的四元數就不滿足交換律。

　　說到代數系統，其實可以把有理數看做是實數的一個子系統，子系統對四則運算是完全封閉的。實數中還有其它的子系統，比較重要的一類來自對多項式的研究。有理數可以看做是所有滿足整係數方程 $a_0x+a_1=0(a_0\ne 0)$ 的實數，將這個概念進行擴展，一般稱滿足方程 $\sum\limits_{i=0}^n{a_ix^i}= 0(a_n\ne 0)$ 的（復）數爲代數數，最低滿足nn階方程的數稱爲n階代數數。容易證明代數數是可數的，自然實代數數也是可數的，所以實數中還有不是實代數數的數，它被稱爲超越數，典型的代表就是π和e。你可能認爲代數數就是帶有各種根號的數，反過來說的確是對的，但大部分代數數卻無法用有限的表達式來表示！這個精彩的命題就需要抽象代數的工具來討論了。

三、實數基本定理

　　實數的構造理論爲實數及其完備性奠定了嚴格的基礎，但爲了研究分析學的方便，我們需要更符合“直覺”的結論。在這之前，先來了解一些重要的概念。

　　對於一個基本序列，我們的直覺是它將逐漸逼近某個數，這個數一般稱爲數列的極限。極限的嚴格定義由維爾斯特拉斯（Weierstrass）給出：一個實數列{xn}如果滿足條件(1)，則稱它爲收斂的（converge）或收斂於a，而a稱爲{xn}的極限（limit），記作 $\lim\limits_{n\to\infty}{x_n}=a$ 或Xn→a。容易證明極限如果存在，則必是唯一的。不收斂的數列稱爲是發散的（divergence），其中如果滿足條件（2），也可以說成是極限爲∞，同樣可以定義極限+∞和−∞。極限定義澄清了無窮的概念，而且可以更好地描述實數的連續性，它將成爲我們的常用語言。

$\forall\varepsilon>0\exists N(n>N\Rightarrow\left|{x_n-a}\right|<\varepsilon)$ （1）

$\forall E>0\exists N(n>N\Rightarrow\left|{x_n}\right|>E)\tag{2}$ （2）

　　數列是關於自然數的函數，如果將定義域換成實數集，就成爲我們所熟悉的一般意義上的函數。關於實數集，大家最熟悉的就是區間（開區間、閉區間、半開半閉區間），開區間(a−ε,a+ε)叫做a的ε-鄰域（neighborhood），而(x−δ,x)∪(x,x+δ)叫x的去心δ-鄰域。類似地我們可以有函數的極限定義：若函數f(x)在a處滿足條件（3），則稱f(x)在a處收斂於A，記作 $\lim\limits_{x\to a}{f(x)}=A$ 或 $f(x)\to A,(x\to a)$ 。類似地可以有單側極限 $x\to a^+,x\to a^-$ ，以及無窮極限 $x\to+\infty,x\to-\infty$ 。

$\forall\varepsilon>0\exists\delta>0(\left|{x-a}\right|<\delta\Rightarrow\left|{f(x)-A}\right|<\varepsilon)\tag{3}$ （3）

　　關於數列還有幾個有用的概念，比如逐漸遞增或遞減的數列稱爲單調數列，數列中任取無窮個元素按原序組成的數列稱爲其子列。如果數列或實數集的所有數不大於M，M稱爲數列或實數集的上界，上界中的最小數稱爲上確界，記作supX。類似地有下界和下確界infX，同時有上界和下界的數列或數集稱爲是有界的（bounded）。若a的任何ε-鄰域內都含有數集X的元素（不包含a），a稱爲X的聚點。閉區間序列[an,bn]如果滿足[a0,b0]⊃[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃⋯，它稱爲區間套。能涵蓋數集X的開區間集∑稱爲它的覆蓋，若數集X的任何覆蓋都有有限子集能覆蓋數集X，則X稱爲緊集。

　　有了這些基本概念，我們就來看看實數的基本定理，它們又叫實數連續性（continuuity）的基本原理。其中定理（3）（8）對函數也同時成立，相關定理請自行腦補。

　　（1）戴德金分割定理：實數集的戴德金分割的右集總有最小值；

　　（2）確界存在定理：有上（下）界的實數集必有上（下）確界；

　　（3）單調有界定理：單調有界的數列必收斂；

　　（4）區間套定理：至少有一個實數屬於所有區間套；

　　（5）有限覆蓋定理：閉區間是緊集。

　　（6）聚點定理：有界實數集至少有一個聚點；

　　（7）子列定理：有界數列必有收斂子列；

　　（8）柯西判定定理：實數基本序列收斂。

　　大部分定理都很“直觀”，我們希望可以直接使用它們，而不是通過實數定義來證明。這樣的要求並不過分，況且我們在上一篇中也已經證明了（1）或（8）是成立的。當拋開實數定義時，我們唯一的顧慮是：它們之間互相兼容嗎？是否存在矛盾呢？答案是讓人欣慰的，它們不僅兼容，甚至是等價的！也就是說以任何一個作爲公理，都可以成功推導出其他7個定理。相信你已經明白我的意思了，現在我們就來構造一個推導環路，來串聯這8個定理。

　　(1)⇒(2)。若A有上界，定義分割X={x<a|a∈A}，可以證明 $\bar X$ 的最小值即爲A的上確界。

　　(2)⇒(3)。考察單調數列的確界，它就是數列的極限。

　　(3)⇒(4)。閉區間的邊界構成單調數列，且它們互爲界限，則必有極限a,b，閉區間[a,b]包含於任一個區間。

　　(4)⇒(5)。假設不能有限覆蓋，每次取有無限覆蓋的那一側，考察區間套的公共點，它必能被一個開區間覆蓋，矛盾。

　　(5)⇒(6)。假設實數集X沒有聚點，考察能包含它的的閉區間[a,b]，在區間上每一點y都可以取足夠小的領域，使其不包含X除y之外的點。則這些領域中有限個可以覆蓋[a,b]，但它們僅包含有限個X中的點，這與X有無窮項矛盾。

　　(6)⇒(7)。考慮集合元素組成的集合，它必有聚點，總可以選取一個收斂於聚點的子列。

　　(7)⇒(8)。容易證明基本序列有界，它必有收斂子列，證明所有數都收斂到該子列的極限值。

　　(8)⇒(1)。用中分法取一個逐漸靠近分割的數列，容易證明它是基本序列，證明它的極限即爲右集的最小值。

四、連分數簡介

我們一直在不自覺地使用着十進制小數（decimal fraction）表示實數，小數運算方便、容易理解，讓實數使用起來更加自如。但小數卻不能提供更多關於實數本身的性質，尤其是對無理數、超越數的研究，小數表示完全無法勝任。有人會感到困惑，什麼叫實數本身的性質？實數本身還有什麼需要進一步研究的？比如說吧，無理數週邊的有理數是如何分佈的？超越數和其它無理數有什麼本質區別？而所謂的連分數則可以比較好的體現出實數本身的性質，同時作爲一種研究實數的好的工具。

參考博客： https://www.cnblogs.com/edward-bian/p/4078364.html

實數系統的構造與發展歷程

實數系統的構造與發展歷程

一、第一次數學危機與畢達哥拉斯學派