粗糙集基本理论知识——入门必看

粗糙集定义

粗糙集（Rough Set, RS）是处理不精确、不确定和不完全数据的有效数学工具，由Pawlak教授在1982年提出。RS 的研究对象是决策表（信息表），且不需要额外的先验知识来分析数据。

定义1 一个积木的信息系统S可以由一个四元组（决策表）S=（U，A，V，f）表示

其中：
U={$\ x_{1},x_{2},... ...,x_{|U|}$ }是非空有限的对象集合，称为论域。
A={$\ a_{1},a_{2},... ...,a_{|A|}$}是非空有限的属性集合，A = $\ C\bigcup D$,C是条件属性，D是决策属性。
V = $\bigcup_{a\in{A}}V_{a}$是值域。V_a表示在论域U中属性a相同的一组对象
$\ f$:$\ U \times A_{a}\rightarrow V_{a}$是信息函数，即$\forall x\in{U},a\in{A},f(x,a)\in V_{a}$。
例如：
存在如下系统表S

论域	颜色	形状	大小	稳定性
X1	红	三角	大	稳定
X2	红	三角	大	稳定
X3	黄	圆	小	不稳定
X4	黄	圆	小	不稳定
X5	蓝	方块	大	稳定
X6	红	圆	中	不稳定
X7	蓝	圆	小	不稳定
X8	蓝	方块	中	不稳定

其中U是指{$\ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}$ },A是指{颜色，形状，大小，稳定性}，决策属性D是指稳定性，其余是指条件属性C。V是指根据a₁颜色分类可以将S分成{{$\ x_{1},x_{2},x_{6}$},{$\ x_{3},x_{4}$},{$x_{5},x_{7},x_{8}$} },类似的还可以根据其他的条件属性来分类。f是指根据不同是条件属性的约束可以从U中选中不同的论域。例如，大三角形是指{$\ x_{1},x_{2}$},f就是从大三角形到{$\ x_{1},x_{2}$}的映射。
要想了解粗糙集合论的思想，首先要知道什么叫做知识，一种对集合U的划分就对应着关于U中元素的一个知识。
每个积木块都有颜色属性，按照颜色的不同，我们能够把这堆积木分成R1={红，黄，蓝} 三个大类，那么：

• 红颜色的积木构成集合X1={x1,x2,x6}

• 黄颜色的积木构成集合X2={x3,x4}

• 蓝颜色的积木构成集合X3={x5,x7,x8}
  按照颜色这个属性我们就把积木集合A进行了一个划分( 所谓A的划分就是指对于A中的任意一个元素必然属于且仅属于一个分类） ，那么我们就说颜色属性就是一种知识。在这个例子中我们不难看到， 一种对集合A 的划分就对应着关于A 中元素的一个知识，假如还有其他的属性，比如还有形状R2={三角, 方块, 圆形} ，大小R3={大, 中, 小} ，这样加上R1属性对A 构成的划分分别为：

• U/R1={X1,X2,X3}={{x1,x2,x6},{x3,x4},{x5,x7,x8}}（颜色分类）

• U/R2={Y1,Y2,Y3}={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}} （形状分类）

• U/R3={Z1,Z2,Z3}={{x1,x2,x5},{x6,x8},{x3,x4,x7}} （大小分类）
  上面这些所有的分类合在一起就形成了一个基本的知识库。那么这个基本知识库能表示什么概念呢？除了红的{x1,x2,x6} 、大的{x1,x2,x5} 、三角形的{x1,x2} 这样的概念以外，还可以表达例如：
  大的且是三角形的{x1,x2,x5} ∩ {x1,x2}={x1,x2}
  大三角{x1,x2,x5} ∩{x1,x2}={x1,x2}
  蓝色的小的圆形({x5,x7,x8} ∩{x3,x4,x7} ∩{x3,x4,x6,x7}={x7}
  蓝色的或者中的积木{x5,x7,x8} ∪{x6,x8}={x5,x6,x7,x8}

而类似这样的概念可以通过求交运算得到，比如X1与Y1的交就表示红色的三角形。所有的这些能够用交、并表示的概念以及加上上面的三个基本知识(A/R1,A/R2.A/R3) 一起就构成了一个知识系统记为R=R1∩R2∩R3，它所决定的所有知识是A/R={{x1,x2},{x3},{x4},{x5},{x6},{x7},{x8}}以及A/R 中集合的并。

下面考虑近似这个概念。假设给定了一个A上的子集合X={x2,x5,x7} ，那么用我们的知识库中的知识应该怎样描述它呢？红色的三角？ 蓝色的大圆？都不是，无论是单属性知识还是由几个知识进行交、并运算合成的知识，都不能得到这个新的集合X，于是我们只好用我们已有的知识去近似它。也就是在所有的现有知识里面找出跟他最像的两个一个作为下近似，一个作为上近似。于是我们选择了“蓝色的大方块或者蓝色的小圆形” 这个概念：{x5,x7}作为X的下近似；选择“三角形或者蓝色的”{x1,x2,x5,x7} 作为它的上近似，值得注意的是：

• 下近似集是在那些所有的包含于X 的知识库中的集合中求并得到的（包含在X内的最大可定义集）
• 上近似则是将那些包含X的知识库中的集合求并得到的（包含X的最小可定义集）
  与上下近似集概念相关的概念还有正域、负域和边界。
  设O 表示具有稳定性的集合，则O = {x1，x2，x5},设R 表示条件属性所构成的一个等效关系，根据R的划分不同，该论域被分割为七个等效类：A/R={{x1,x2},{x3},{x4},{x5},{x6},{x7},{x8}}。x1,x2在同一个等效类中，他们都为红色大三角，是不可分辨的. 则：
  集合O 的下逼近（即正区） 为 I_R*(O) = POS_R (O) = {x1，x2，x5}
  集合O 的负区为 NEG (O) = {x3，x4，x6，x7，x8}
  集合O 的边界区为 BND (O) = 空集
  集合O 的上逼近为 I_* (O) = PO S (O) + BND (O) = {x1，x2，x5}
  一般的，我们可以用下面的图来表示上、下近似的概念。
  
  这其中蓝色曲线围的区域是X的区域，紫色曲线围的部分是内部参考消息，是下近似，红色曲线围的内部部分就是上近似集。其中各个小方块可以被看成是论域上的知识系统所构成的所有划分。整个粗集理论的核心就是上面说的有关知识、集合的划分、近似集合等等概念。

下面我们讨论一下关于粗糙集在数据库中数据挖掘的应用问题。考虑一个数据库中的二维表如上面的表所示：

从上面的表可以看出，最后一列是我们的决策属性，用来评价什么样的积木稳定，表中的每一行表示了类似这样的信息：红色的大三角积木稳定，蓝色的小圆不稳定等等。
我们可以把所有的记录看成是论域A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8} ，任意一个列表示一个属性构成了对论域的元素上的一个划分，在划分的每一个类中都具有相同的属性。而属性可以分成两大类，一类叫做条件属性：颜色、形状、大小都是，另一类叫做决策属性：最后一列的是否稳定？下面我们考虑，对于决策属性来说是否所有的条件属性都是有用的呢？
考虑所有决策属性是“稳定”的集合{x1,x2,x5} ，它在知识系统U/R 中的上、下近似都是{x1,x2,x5} 本身，“不稳定”的集合{x3,x4,x6,x7,x8} ，在知识系统A/R 中的上、下近似也都是{x3,x4,x6,x7,x8} 它本身。说明该知识库能够对这个概念进行很好的描述。

下面考虑是否所有的基本知识：颜色、形状、大小都是必要的吗？

如果我们把这个集合在知识系统中去掉颜色这个基本知识，那么知识系统变成：U/(R-R1)={{x1,x2},{x3,x4,x7},{x5},{x6},{x8}} 以及这些子集的并集。如果用这个新的知识系统表达“稳定”概念得到上下近似仍旧都是： {x1,x2,x5} ，“不稳定”概念的上下近似也还是{x3,x4,x6,x7,x8} ，由此看出去掉颜色属性我们表达稳定性的知识不会有变化，所以说颜色属性是多余的可以删除。

如果再考虑是否能去掉大小属性呢？这个时候知识系统就变为：U/(R-R1-R3)=A/R2={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}} 。同样考虑“稳定”在知识系统U/R2 中的上下近似分别为：{x1,x2} 和{x1,x2,x5,x8} ，已经和原来知识系统中的上下近似不一样了， 同样考虑 “不稳定” 的近似表示也变化了，所以删除属性“大小”是对知识表示有影响的故而不能去掉。同样的讨论对于“形状”属性也一样，它是不能去掉的。

最后我们可以得出结论：我们得到化简后的知识库R2,R3，从而能得到下面的决策规则：大三角-> 稳定，大方块-> 稳定，小圆-> 不稳定，中圆-> 不稳定，中方块-> 不稳定，利用粗糙集的理论还可以对这些规则进一步化简得到：大-> 稳定，圆-> 不稳定，中方块-> 不稳定。这就是上面这个数据表所包含的真正有用的知识，而这些知识都是从数据库有粗糙集方法自动学习得到的。