翻譯自《robot dynamics and control》
作者：Mark W Spong，Seth Hutchinson， and M. Vidyasagar
前面的章節我們推導了關節空間與末端執行器工作空間之間的正逆運動學關係方程。本章我們推導關節速度與末端執行速度的關係，在此期間我們着重推導末端執行器座標系的角速度以及其座標原點的線速度，然後我們再把兩者關聯起來得到任意一點的速度關係。
從數學角度來看，正運動學方程定義了一個有關笛卡爾位置姿態以及關節位置的方程，速度關係待會也可以從正運動學方程的雅各比得到。這裏我們所說的雅各比是一個矩陣形式的方程，這個方程可以看成一個標量方程求導的向量形式。這個雅各比（或者說雅各比矩陣）是機器人的分析和控制裏面最重要的部分之一。它在幾乎所有機器人學領域都有一定的作用。例如：平滑運動策略的計劃和執行，判斷機器人是否在奇異位置，協調擬人化運動的執行，動力學方程的推導以及從關節到末端執行器的力與扭矩的傳遞。
由於雅各比矩陣描述了速度之間的關係，我們通過對速度的研究以及表達來開始本章的內容。我們首先
- 研究繞固定軸旋轉的角速度
- 然後通過反對稱矩陣的知識把角速度的描述一般化
有了角速度的一般化表達之後，我們就能夠推導出一個運動座標系的角速度以及它原點的線速度。
- 接着我們去推導機械臂的雅各比矩陣。
速度之間的關係如下：
關節速度矩陣*雅各比矩陣=機械臂末端執行器的速度矩陣
對於一個具有n關節的機械臂我們首先推導瞬時速度雅各比矩陣，輸入是一個nx1的關節速度矩陣，輸出是一個6x1的速度矩陣（其中前3個來描述原點的線速度，後3個描述座標系的角速度）。因此不難發現雅各比矩陣是一個6xn的矩陣。同樣的方法可以用來求解末端執行器上的任意一點的角速度和線速度。這一點在我們第九章求解動力學方程時極爲重要。
- 接着我們討論機器人的奇異位姿（位置+姿態）
奇異位姿是及機器人失去一個或者多個自由度時的位姿，我們展示奇異位姿在幾何學上是怎麼定義的並給出幾個例子。
- 然後我們介紹講解逆雅各比矩陣
- 最後我們通過介紹冗餘機械臂來結束本章。
這就包括了對逆速度問題，奇異值分解以及操控性問題的討論。