面試算法combine sum專題講解二（動態規劃法）

這一部分，我們將講解DP問題求解combine sum的最優解問題。

涉及的代碼題目是leetcode 377、322

leetcode 377

問題描述：整數數組，無重複元素，但每個數字可以被重複使用，給出組合的總數，無須給出所有排列。

算法設計思路：創建dp數組，dp[i]表示target爲i時，無重複元素組合的總數。

算法實現：

class Solution(object):
    def combineSolution4(self, nums, target):
        nums.sort()
        dp = [0] * (target+1)
        dp[0] = 1
        for i in range(1, target+1):
            for num in nums:
                if i >= num:
                    dp[i] = dp[i] + dp[i-num]
                else:  # 剪枝
                    break
        result = dp[target]
        return result

demo測試以及結果：

if __name__ == '__main__':
    s = Solution()
    print(s.combineSolution4([1,2,3], 4))

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leetcode 322

問題描述：

已知不同面值的鈔票，求如何使用最少數量的鈔票組成某個金額，鈔票可重複使用。若任意數量的已知面值都無法組成該金額，直接返回0。舉例如下：

鈔票面值 [1，2，5]，target=11，解=3（5+5+1）
鈔票面值 [2]，target=3，解=0（無法組成）
鈔票面值 [1，2，5，7，10]，target=14，解=2（7+7）

算法設計思路：

對於[1, 2, 5]，target=11的問題，可用貪心策略求解得到最優解3，但是對於[1, 2, 5, 7, 10]，target=14用貪心策略的結果3（10+2+2）就不是全局最優解，此時DP策略可以解決，創建dp數組，dp[i]表示組成金額i的最少鈔票數量。

對於[1, 2, 5, 7, 10]，target=14這個instance來說，dp[i]代表最優解，初始值都是-1（dp[0]——dp[14]=-1），計算dp[i]時，dp[0]~dp[i-1]都已經計算出來，它們之間的遞推關係如何，嘗試使用這些值遞推。

dp[i-1] 與 coin[0] （1）組合；
dp[i-2] 與 coin[1] （2）組合；
dp[i-5] 與 coin[2] （5）組合；
dp[i-7] 與 coin[3] （7）組合；
dp[i-10] 與 coin[4] （10）組合

而狀態i可由前面這5個狀態（i-1，i-2，i-5，i-7，i-10）共同決定，即：

dp[i] = min{dp[i-1], dp[i-2], dp[i-5], dp[i-7], dp[i-10]}+1

算法實現：

def money_change(nums, target):
    dp = [0] * (target+1)   # dp
    for i in range(1, target+1):
        min = target
        for num in nums:
            if i >= num and dp[i-num] < min:
                min = dp[i-num]
        dp[i] = min+1
    return dp[target]

demo測試以及結果：

if __name__ == '__main__':
    r = money_change(nums=[1,2,5,7,10], target=14)
    print(r)
    r = money_change(nums=[1,2,5,7,10], target=18)
    print(r)

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