利用MATLAB編程實現系統傳遞函數的構建以及它們之間進行串聯、並聯、反饋時的構建方法

   本文主要介紹如何利用MATLAB編程實現系統傳遞函數的構建以及它們之間進行串聯、並聯、反饋時的構建方法

一、傳遞函數的構建方法

    首先 ，我們把想要構建的傳遞函數分子和分母的係數按照階次從高到低（缺項補零）分別保存在一個向量中，然後調用tf（）函數進行構建，tf函數用來建立實部或複數傳遞函數模型或將狀態方程、或零級增益模型轉化成傳遞函數形式。比如構建如下傳遞函數的代碼如下：

$\frac{1}{s^3+2s^2+s}$

num=[1];
den=[1 2 1 0];
G=tf(num,den)

    運行結果如下：

G =
 
         1
  ---------------
  s^3 + 2 s^2 + s

    如果我們拿到的傳遞環數是以零極點的形式表示的，而我們又不想手動的去展成多項式形式，可以採用如下的方式構建傳遞函數，我們把傳遞函數的零點z，極點p，增益k，分別放到一個向量中，然後再調用zpk（）函數進行構建，如構建如下傳遞環數的代碼如下：

$\frac{1}{s（s+1）^2}$

z=[];    //沒有零點就空着，若裏面寫零代表分子爲S
p=[0 -1 -1];
k=[1];
G=zpk(z,p,k)

    運行結果如下：

G =
 
      1
  ---------
  s (s+1)^2

    其實以上兩種模型之間可以相互轉化，轉化代碼如下：

   num_1=[1];
   den_1=[1 2 1 0];
   G_1=tf(num_1,den_1)
   [z,p,k]=tf2zp(num_1,den_1);   //傳遞函數模型轉化爲零極點模型
   G_2=zpk(z,p,k)
   [num_3,den_3]=zp2tf(z,p,k);    //零極點模型轉化爲傳遞函數模型
   G_3=tf(num_3,den_3)

    運行結果如下：

G_1 =
 
         1
  ---------------
  s^3 + 2 s^2 + s
  
G_2 =
 
      1
  ---------
  s (s+1)^2
  
 G_3 =
 
         1
  ---------------
  s^3 + 2 s^2 + s

二、多個傳遞環數間串聯、並聯、反饋的構建方法

    本部分我們用如下兩個傳遞函數爲例，就他們之間進行串聯，並聯，反饋的模型搭建方法進行介紹。

$\frac{1}{s^3+2s^2+s} 和 \frac{1}{s^2+2s+1}$

  1、串聯

    方法一：先根據第一部分的介紹搭建兩個傳遞函數，然後利用用series函數計算兩個傳遞函數的串聯形式，代碼如下：

  num_1=[1];
  den_1=[1 2 1 0];
  G_1=tf(num_1,den_1);

  num_2=[1];
  den_2=[1 2 1 ];
  G_2=tf(num_2,den_2);
  
  [num_c,den_c]=series(G_1,G_2);
  G_c=tf(num_c,den_c)

    這種方法呢有時會出現輸出參數太多 (InputOutputModel)的錯誤，爲了簡潔性和不易錯性，推薦大家採用以下的第二種方法，並聯和反饋也將採用如下方法介紹：

  num_1=[1];
  den_1=[1 2 1 0];
  num_2=[1];
  den_2=[1 2 1 ];
  [num_c,den_c]=series(num_1,den_1,num_2,den_2);
  G_c=tf(num_c,den_c)

    運行結果如下：

G_c =
 
                 1
  -------------------------------
  s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 4 s^2 + s

  2、並聯

    採用parallel（）函數可以計算兩個傳遞函數的並聯形式，代碼如下：

   num_1=[1];
   den_1=[1 2 1 0];
   num_2=[1];
   den_2=[1 2 1 ];
   [num_b,den_b]=parallel(num_1,den_1,num_2,den_2);
   G_b=tf(num_b,den_b)

    運行結果如下：

G_b =
 
       s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1
  -------------------------------
  s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 4 s^2 + s

  3、反饋

    採用feedback（）函數可以計算兩個傳遞函數的反饋形式，相比於前兩種情況，feedback（）多了最後一個參數，爲1時爲正反饋，爲-1時爲負反饋，缺省時爲負反饋，代碼如下：

   num_1=[1];
   den_1=[1 2 1 0];
   num_2=[1];
   den_2=[1 2 1 ];
  [num_f,den_f]=feedback(num_1,den_1,num_2,den_2,-1); //此處爲負反饋，將-1改爲1，則變成正反饋
   G_f=tf(num_f,den_f)

    運行結果如下：

G_f =
 
             s^2 + 2 s + 1
  -----------------------------------
  s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 4 s^2 + s + 1

    用以上方法就可以得到系統的閉環傳遞環數，也就得到了系統的閉環特徵方程，可以進步求解特徵方程的特徵根，從而判斷系統的穩定性，具體步驟可參考如下博文：博文鏈接：利用MATLAB解特徵方程，並畫出特徵根的分佈，便於分析系統的穩定性。