華爲OJ1964-求解立方根（牛頓迭代法）

一、題目描述

描述：

• 計算一個數字的立方根，不使用庫函數。
• 函數原型double getCubeRoot(double input)

輸入：

待求解參數 double類型

輸出：

輸出參數的立方根，保留一位小數

樣例輸入：

216

樣例輸出：

6.0

二、解題報告

本題要求一個數的立方根的近似值，精確到小數點後的一位。這裏使用 牛頓迭代法 求近似值。

牛頓迭代法，又稱爲牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x) 的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x)=0 的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x)=0 的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根，此時線性收斂，但是可通過一些方法變成超線性收斂。另外該方法廣泛用於計算機編程中。

設 r 是的根，選取 x0 作爲 r 的初始近似值：

• 過點(x0,f(x0)) 做曲線y=f(x) 的切線L，L的方程爲 y=f(x0)+f′(x0)(x−x0) ，求出L與x軸交點的橫座標 x1=x0−f(x0)f′(x0) ，稱 x1 爲 r 的一次近似值。

• 過點 (x1,f(x1)) 做曲線 y=f(x) 的切線，並求該切線與x軸交點的橫座標 x2=x1−f(x1)f′(x1) ，稱 x2 爲 r 的二次近似值。

• 重複以上過程，得 r 的近似值序列。其中， xn+1=xn−f(xn)f′(xn) 稱爲 r 的 n+1 次近似值，上式稱爲牛頓迭代公式。

---

首先確定我們的函數 f(x) ：

f(x)=x3−m

其中 m 是一個常數，程序的輸入。求導函數：

f′(x)=3x2

代碼如下：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define E 0.01

double f(double x, double num) // 函數
{
    return x*x*x-num;
}

double _f(double x)  // 導函數
{
    return 3*x*x;
}

double getCubeRoot(double input)
{
    double x0;  
    double r = 1;
    do
    {
        x0 = r;
        r = x0 - f(x0,input)/_f(x0);
    } while(f(r,input) > E || f(r,input) < -E);

    return r;
}

int main()
{
    double x;
    cin >> x;
    double result = getCubeRoot(x); 
    cout << fixed << showpoint << setprecision(1) << result << endl;
    return 0;
}

個人站點：http://songlee24.github.com