作者：亞馬遜的蝴蝶（Butterfly_of_Amazon）
上一篇文章《愛因斯坦和玻爾爭論的到底是什麼》中，說到愛因斯坦通過EPR佯謬指出，哥本哈根解釋拋棄了實在性也就意味着違反定域性，玻爾的回答暗示了超距作用的存在。
不僅是愛因斯坦，相信大多數人都難以認同玻爾的回答，但卻無法判定對錯。這個問題本來是科學問題，科學卻對它無能爲力，爭論似乎只能停留在哲學層面。爲量子力學理論立下汗馬功勞的泡利抱怨說：“與愛因斯坦爭論，往往會歸結到針尖上能站多少個天使這類問題上去”。此後的二十年，誰都無法說服誰。
1955年愛因斯坦去世，1962年玻爾離開這個世界，兩人都爲各自的信念奮鬥了一生。玻爾去世前，工作室的黑板上還畫着當年與愛因斯坦“華山論劍”的光箱實驗草圖，玻爾經常用這個圖給來訪者解釋量子理論。儘管被愛因斯坦質疑爲不完備，幾十年間，量子理論已勢不可擋地發展起來，給人類社會帶來偉大的技術革命。雖然已很少有人提起，但兩人的爭論還在等待一個最終判決。
玻爾去世兩年後，終於有人將這個問題向前推進了關鍵的一步。這個人就是英國物理學家約翰·斯圖爾特·貝爾(John Stewart Bell)，他提出了大名鼎鼎的貝爾不等式，爲判決指出了方向。
貝爾不等式本身並不複雜，我後面會寫出推導過程。相信我，具備中學數學知識就可以看懂。
很多科普文章沒有把貝爾不等式講清楚，包括我很喜歡的《量子物理史話——上帝擲骰子嗎》，主要是因爲怕影響通俗性而省略了對複雜環節和概念的描述。既然我把我的文章定位爲“比科普深入，比論文淺顯”，我將嘗試增加我認爲必要的內容。但作爲科普文章，所謂的“深入”也只能是適可而止。
預警：雖然我能保證不難，但不動腦筋肯定是讀不懂的，請集中注意力。
一、判定對錯的難點
上一篇文章中說到：“愛因斯坦和玻爾關於EPR佯謬的解釋似乎無法分出對錯，因爲無人能在粒子飛行過程中插入檢測點”。對於這個難點，該怎麼解決呢？
先給大家講一個《羅輯思維》第172期中的故事。
日本有一項體育運動叫相撲，帶有強烈的宗教和神聖色彩，無論是訓練還是比賽，都充滿了儀式感，屬於日本民族文化聖壇上的東西，被日本人認爲是最乾淨的運動。
相撲運動跟圍棋一樣，也分段位，共十級，最上面那級叫橫綱，在日本具有神一樣的地位。運動員達到橫綱之後，將終身保持這個榮譽。
我們知道體育比賽往往會有各種各樣的作弊，比如賄賂裁判、服用興奮劑、假賽，等等。但日本人認爲相撲不會，因爲相撲是神聖和乾淨的，每位相撲運動員都信奉相撲哲學，有着崇高的道德感，在賽場上秉承武士道精神，拼死拼搏，絕對不會幹出類似放水、假賽這樣骯髒的事情。
那麼相撲的道德水準是不是真的像他們說的那麼高呢？曾經有兩位橫綱，退休後合寫了一本書叫《賽場內外》，書中有一小段影影綽綽說到假賽在相撲中普遍存在。這本書出版後引起軒然大波，民衆指責他倆“信口雌黃”，污衊“民族心中的聖壇”。後來兩人死得非常慘，幾乎是在同一天，都因爲呼吸衰竭而死。醫院的診斷結論是急性肺炎。當然誰都能想明白，這肯定不是正常死亡，兩個人寫了同一本書，同一天死，一定是因爲得罪了什麼人，妨礙了某些人的利益，被黑社會做掉了。
但相撲比賽到底存不存在假賽的情況呢？判定假賽就是要證明參賽者比賽時沒有盡力，但如何認定參賽者沒有盡力呢？這個問題是不是和前面說的對愛因斯坦和玻爾的爭論做出判定有相似的地方？就像誰也不能中途觀察粒子一樣，誰也無法進入參賽者的內心。
但是，這個看似無解的問題被科學找到了答案。
相撲運動有個規則：每屆大賽，每個運動員要打十五場，如果贏了八場及以上，就可以晉級。如果到最後一場時，你已經贏了七場，那麼這場對你就是關鍵場次，因爲它決定你是不是能晉級，性命攸關，所以你一定會非常拼命。而你的對手也許與你不一樣，他可能已經贏了八場，或者只贏了六場，這場的輸贏對他沒有太大意義，他當然沒有必要跟你拼命，爲了避免受傷或交換利益，有可能故意讓你贏。
有人把幾十年間日本相撲運動的資料全部調出來，共32000場，找出其中的關鍵場數進行統計，得出了一個驚人的發現：性命攸關方的勝率幾乎比平時高出一倍！但如果每位相撲運動員都遵守相撲哲學和道德，拼死拼搏，怎麼可能出現這麼大的勝率變化呢？答案不言自明：對方放水了。日本文化聖壇上的相撲運動其實並不如他們所說的那麼幹淨。
大家可能已經猜出來了我想說的意思：統計和概率將在對愛因斯坦和玻爾爭論的判決上起着至關重要的作用。
那麼EPR佯謬裏的“關鍵場數”是什麼呢？
二、愛玻之爭的“關鍵場數”
貝爾之所以能爲判決指出方向，正是因爲他找到了愛玻之爭的“關鍵場數”。下面將依次講解粒子自旋的概念、自旋的測量、貝爾不等式的推導，最後得出愛玻之爭的“關鍵場數”。
描述過程中，我將略去對於理解貝爾不等式不必要的概念，只留下確保邏輯鏈條完整的內容。
限於水平，部分描述可能專業性不足，還望包涵。如有硬傷，肯請批評指正。
（一）基本粒子的自旋
經典物理中物體的自轉很好理解，一個物體圍繞自身軸心旋轉即爲自轉，可用角動量來描述。角動量的大小爲物體上每個點的質量乘以該點速度再乘以該點與轉軸的距離的累加之和；角動量的方向用右手定則確定：右手除大拇指外的四指順着旋轉方向環握，此時右手大拇指所指方向即爲角動量的方向。下圖中角動量方向是向上的，如果圖中轉盤反向旋轉，則角動量方向向下。對角動量不瞭解沒有關係，記住這是物理學的一個約定就可以了，按照這個約定，用一個有方向有長度的矢量（即箭頭）就可以準確描述經典物理中某個物體的旋轉。
基本粒子自旋正是得名於與經典物理中角動量的類比。瞭解經典物理的角動量有助於理解粒子自旋，但僅限於對比相似點與不同點，不能用經典物理中的現象解釋粒子自旋。
對於自旋的計算不屬於本文範圍，我僅通過列舉和對比兩者特點來幫大家形成基本概念：
- 粒子自旋是粒子所具有的內稟性質，可理解爲粒子與生俱來的一種角動量；其運算規則與經典物理中的角動量有類似之處；根據計算可知自旋會產生磁場，並已得到實驗證實。
- 粒子自旋的形成原理未知，不能像經典物理中的自轉那樣理解爲粒子圍繞自身質心的旋轉。
- 粒子自旋的量值是量子化的，無法被改變，比如：測量電子任意方向的自旋，都將得到或正或負的固定數值。這點與經典物理很不一樣，經典物理中物體旋轉得越快則角動量越大，角動量的方向除了向上或向下，也可以向其它方向偏轉任何角度，角動量的大小和方向獨立於測量方法而存在。這一點非常重要，請認真體會。
是不是有些暈？請放輕鬆，不只是你，相信任何人都無法理解。正像上一篇文章所說：所謂理解，只是用熟悉的事物進行類比和推導，而量子世界裏的概念大部分都無法在我們熟悉的事物中找到可類比的東西。基本粒子奇異特性的發現得益於衆多科學家的開創性工作，他們基於實驗數據，藉助天才般的靈光乍現，從幾個基本假設出發，通過數學計算推導得出。經典物理對此往往無法解釋，甚至連發現它們的科學家自己也無法理解。
（二）自旋方向的測量
1922年，德國物理學家奧托·斯特恩和瓦爾特·格拉赫通過著名的斯特恩—革拉赫實驗，首次證實了原子角動量的量子化，奧托·斯特恩因此獲得1943年諾貝爾物理學獎。下面是實驗示意圖。
大量銀原子從電爐內蒸發射出，通過狹縫形成細束，經過一個抽成真空的不均勻的磁場區域（磁場垂直於射束方向），最後到達照相底片上。按照經典物理分析，銀原子自身磁矩方向是隨機的，因此受到裝置磁場的引力或斥力大小也是隨機分佈的，因此銀原子可能擊打在底片上的任意位置。而實際實驗中，當把底片顯像後，底片上出現了兩條黑斑，表明銀原子經過不均勻磁場區域時分成了兩束，說明原子的角動量是量子化的，在磁場中不能任意取向。
1927 年，泡利將自旋概念應用到量子力學體系中，同年弗萊塞在實驗中發現銀、氫和鈉原子的軌道角動量爲零，才確定斯特恩—蓋拉赫實驗現象歸因於電子的自旋。銀原子最外層電子軌道只有一個電子，該電子的自旋磁矩導致銀原子成爲一個小磁體。泡利通過計算推斷，測量電子自旋只能得到兩種量子態，分別稱爲上旋或下旋，從而解釋了銀原子在不均勻外磁場作用下的向上或向下偏轉，見下圖。
斯特恩—革拉赫實驗裝置成爲測量電子自旋角動量方向的重要工具。
（三）貝爾不等式的推導
主角終於登場了。1928年7月28日，約翰•斯圖爾特•貝爾出生在北愛爾蘭的首府貝爾法斯特，從小聰穎過人。貝爾讀大學時，量子理論主要的開創性工作已基本完成，正在推動技術革命中發揮重要作用，但貝爾發現自己像愛因斯坦一樣難以接受現有的量子理論，他認爲物理世界一定是確定的，他把自己描述爲愛因斯坦的忠實追隨者。
貝爾用電子自旋代替粒子的動量與位置，仔細琢磨EPR論文描述的情景：“一對糾纏中的電子背向飛往遠處，分別測量它們在同一方向的自旋，一定會得出一個上旋一個下旋的結果”。他突發奇想：“如果測量不同方向的自旋會怎麼樣？” 經過反覆把玩各種可能情況下的數據，他漸漸理清了思路，於1964年發表了論文《On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox》（論EPR佯謬）（論文下載）。
文章寫到這裏，我停了很多天。
科普文章的困難是要在專業性和通俗性之間找平衡，不能寫太多太複雜的計算和推導（說實話，對於量子力學，複雜的計算我目前的能力也做不到），只能參考其它資料進行相對通俗易懂的描述，但有時會擔心參考資料的權威性而不敢下筆，怕描述不嚴謹，誤導讀者。
我設法找到了1964年貝爾論文的英文原文，認真讀完纔敢放心接着寫。後面我會說到具體是哪個點讓我停了這麼久。
下面寫的貝爾不等式推導過程是改編簡化版，只考慮了離散輸入與輸出的情況，而貝爾的原論文涵蓋連續和離散輸入輸出的所有情況，更有普適性，不過兩者基本思想是一樣的。
貝爾和愛因斯坦一樣，相信糾纏狀態的兩個粒子在分離的瞬間，已經“約定好”之後的行爲，確定了每時每刻的相關物理量值（注：貝爾實際相信的是玻姆的隱變量理論，這裏略去不寫，否則文章將過於複雜）。基於這點，他想：
假設有兩個糾纏狀態的電子A和B，現指定三個方向x、y、z（這三個方向相互間不一定垂直，可以是任意夾角）。對於A，在x方向測量它的自旋，測量結果可能是上旋，也可能是下旋，分別用Ax+、Ax-表示；類似的，對於A，在y方向測量，結果可能是Ay+或Ay-，同理有Az+、Az-。
按照愛因斯坦的觀點，由於測量前，電子在x、y、z方向上已經有確定的自旋方向，那麼，Ax、Ay、Az的全部組合將包含在下表中：
同理，B也符合上表情況。考慮到在相同方向上B的自旋測量結果與A相反，故A、B自旋的全部組合將包含在下表中：
上表中顯然有：N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1
下面考察“相關率”在這個場景中的情況。
所謂相關率，是指兩個變量的關聯程度，通俗地說，就是衡量兩個變量的協作程度。比如：甲乙兩個人，如果我們把“當甲做A事時乙做B事；甲不做A事時乙也不做B事”當作正相關，把“當甲做A事時乙不做B事；甲不做A事時乙做B事”當作負相關，那麼將正相關出現的概率減去負相關出現的概率就得出總的相關率。如果大於0，表示兩人傾向於協作，數值越大，表示協作程度越高；如果小於0，表示兩人傾向於抗拒協作，數值越小，表示抗拒程度越高；如果等於0表示什麼呢？表示兩人的行爲隨機，不存在導致兩人協作或抗拒協作的主觀或客觀原因。
對於A、B兩個電子來說，以它們在x方向測得的自旋方向爲例，如果以兩者方向相反爲正相關，方向相同爲負相關（之所以這麼設定，是考慮到一對糾纏的電子在同方向上測得的自旋方向是相反的），則A、B兩個電子在x方向的自旋相關率爲：
Pxx=N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1
那麼，考察兩個電子在不同方向上測量結果的相關率是多少呢？根據上表，很容易得出：
Pxy=N1+N2-N3-N4-N5-N6+N7+N8
Pzx=N1-N2+N3-N4-N5+N6-N7+N8
Pyz=N1-N2-N3+N4+N5-N6-N7+N8
可得：
|Pzx - Pyz| = 2*|N3-N4-N5+N6| ≦ 2*(N3+N4+N5+N6) = 1 + 2*(N3+N4+N5+N6) - (N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8) = 1 - (N1+N2-N3-N4-N5-N6+N7+N8) = 1 - Pxy
即：|Pzx - Pyz| ≦ 1 - Pxy，這就是大名鼎鼎的貝爾不等式。
那麼這個貝爾不等式表示的是什麼意思呢？前面提到“糾纏狀態的兩個粒子在分離的瞬間，已經約定了之後的行爲”，這是推導貝爾不等式的前提。這個前提表示的是“分離之後，兩個電子不再相互影響”，只要不相互影響，相關率Pxy、Pzx和Pyz 就必然要符合貝爾不等式描述的關係。
那麼這個貝爾不等式爲什麼重要？因爲貝爾發現：依據量子力學理論，在某些情況下，糾纏電子的統計學行爲不符合貝爾不等式描述的情況！這就給實驗驗證EPR指出了一個可行的方向。
但是，依據量子力學理論，如何得知“在某些情況下，糾纏電子的統計學行爲不符合貝爾不等式描述的情況”？我在尋找材料上花了幾天時間，找到的材料裏能讓我放心採用的也就是貝爾的論文原文了。論文中關於這部分實際只有一句話和一個式子(3)：
圖中式子如何推導而來，論文沒有交待。我結合我找到的關於實驗數據分析的材料，對式(3)進行推導，可能有助於大家理解。
實驗證明：
- 一個銀原子束L，經過一個磁場方向爲a的斯特恩—革拉赫裝置，將被分裂爲兩束，一束向a方向偏轉（記爲a=1），另一束則向-a方向偏轉（記爲a=-1）。
- 將其中向a方向偏轉的銀原子束記作A，向-a方向偏轉的銀原子束記作-A，讓A再經過一個磁場方向爲b的斯特恩—革拉赫裝置，則它將再次分裂爲兩束，其中一束向b偏轉（記爲b=1），另一束向-b方向偏轉（記爲b=-1）。
- 如果A有N個電子 ，b與a的夾角爲γ，則向b偏轉的那束有NCos2(γ/2)個銀原子，向-b偏轉的那束有NSin2(γ/2)個銀原子。
根據上述實驗事實，可以得出：
- 對於A中的單個銀原子e來說：
向 b方向偏轉的概率 P(a=1,b=1)=Cos2(γ/2)
向-b方向偏轉的概率 P(a=1,b=-1)=Sin2(γ/2)。- 類似，可計算-A中銀原子的偏轉概率：
P(a=-1,b=1)=Sin2(γ/2)
P(a=-1,b=-1)=Cos2(γ/2)- 因爲A中銀原子數加-A中銀原子數等於總銀原子數，由1和2可知，對於銀原子束L：
銀原子在a和b中偏轉同向（即均爲正或均爲負）的概率 P(a=b)=Cos2(γ/2)
在a和b中偏轉異向（即一正一負）的概率 P(a=-b)=Sin2(γ/2)，前面已說“弗萊塞通過實驗確定斯特恩—蓋拉赫實驗銀原子偏轉現象歸因於電子的自旋”，故可將此結論推廣到EPR論文所描述的情景：處於糾纏態的電子對，各自向相反方向飛去，在電子經過的路徑上，在a方向測量第一個電子的自旋，在b方向測量第二個電子的自旋，a與b夾角爲γ。由於糾纏態電子在同方向上測得的自旋方向必然相反，由前述3得出：
兩個電子在a和b中偏轉同向（即均爲正或均爲負）的概率 P(a=b)=Sin2(γ/2)
兩個電子在a和b中偏轉異向（即一正一負）的概率 P(a=-b)=Cos2(γ/2)如以兩個電子在a和b中偏轉異向爲正相關，則相關率爲：
Pab= P(a=-b)-P(a=b)=Cos2(γ/2) - Sin2(γ/2) = Cos(γ)
Cos(γ)正是a、b兩個方向的單位矢量的點積，將這兩個單位矢量表示爲a和b，有：
Pab = a•b
貝爾論文的式(3)中的<σ1•a σ2•b>是以兩個電子在a和b中偏轉同向爲正相關，其值應與Pab異號，故有：
<σ1•a σ2•b> = -Pab = -a•b
至此，貝爾論文中的式(3)推導完畢。以上推導，由對同一個電子先後測量不同方向，過渡到對糾纏電子同時測量不同方向，這個過程邏輯並不嚴謹，僅用於幫助大家理解式(3)。
把 Pab= Cos(γ) 這個結論代入貝爾不等式會出現什麼情況？
設x與y間夾角爲α，y與z間夾角爲β，z與x間夾角爲θ（α，β，θ 均大於0度且小於180度），依據 Pab= Cos(γ)，有：
Pxy= Cos(α)
Pzx= Cos(β)
Pyz= Cos(θ)
將Pxy、Pzx、Pyz代入貝爾不等式，得：
|Cos(β) - Cos(θ)| ≦ 1 - Cos(α)
=> |1 - 2Sin2(β/2) - (1 - 2Sin2(θ/2))| ≦ 1 - (1 - 2Sin2(α/2))
=> |Sin2(θ/2) - Sin2(β/2)| ≦ Sin2(α/2)
在β ≦ θ 時，有：Sin2(θ/2) - Sin2(β/2) ≦ Sin2(α/2)
=> Sin2(θ/2) - Sin2(α/2) - Sin2(β/2) ≦ 0
下面考慮 θ = α + β 時的情況，有：
Sin2(θ/2) = Sin2(α/2 + β/2)
= [Sin(α/2)Cos(β/2) + Cos(α/2)Sin(β/2)]2
= Sin2(α/2)Cos2(β/2) + 2Sin(α/2)Cos(α/2)Sin(β/2)Cos(β/2) + Cos2(α/2)Sin2(β/2)
故：
Sin2(θ/2) - Sin2(α/2) - Sin2(β/2)
= 2Sin(α/2)Cos(α/2)Sin(β/2)Cos(β/2) - 2Sin2(α/2)Sin2(β/2)
= 2Sin(α/2)Sin(β/2)[Cos(α/2)Cos(β/2) - Sin(α/2)Sin(β/2)]
= 2Sin(α/2)Sin(β/2)Cos(α/2 + β/2)
由於 Sin(α/2)Sin(β/2) >0 ，所以要滿足 Sin2(θ/2) - Sin2(α/2) - Sin2(β/2) ≦ 0，則必須 Cos(α/2 + β/2) ≦ 0 ，也就是說 α/2 + β/2 必須大於 90度。顯然，在 α 和 β 均小於90度的情況下，這個條件是不滿足的，也就是說此時貝爾不等式不成立。
我們來分析一下這表示什麼：
貝爾不等式是基於愛因斯坦“定域性和實在性都必須滿足”的前提推導出來的，就是說只要物理世界是定域且實在的，貝爾不等式就不可能被突破。假如貝爾不等式被突破，說明要麼玻爾否認實在性的解釋是對的，要麼就是電子間存在突破定域性限制的通信，使它們能在測量瞬間出現某種協作，從而影響實驗結果。
至此，終於找到了愛玻之爭的“關鍵場數”：將a、b隨機在x、y、z三個方向上變化，x、y、z之間選擇依據量子理論推導出來的不支持貝爾不等式的夾角，測量大量糾纏電子對的自旋方向，看統計數據是否突破貝爾不等式的限制，如果不突破，則支持愛因斯坦的觀點，否則，傾向於支持玻爾的觀點。
三、實驗結果的判決
有了貝爾不等式，物理學家們開始着手設計實驗來進行驗證。
- 二十世紀70年代，人們在伯克利、哈佛和德州大學進行了一系列實驗。由於糾纏電子的產生、傳送與測量都很困難，因此用光子代替電子，用光子的偏振代替電子的自旋，用偏振器測量光子的偏振。由於技術限制，實驗只能產生很弱的光信號，並且只能測得單一的“+”，而不是“+”和“-”。出乎貝爾的意料，實驗結果似乎指向愛因斯坦是錯的。
- 二十世紀80年代，激光技術的進步使得人們可以進行更爲精確的實驗。1982年，法國人阿斯派克特使用鈣原子來產生光子對，將偏振器放置在距離光源12米的位置，每10納秒就切換一次偏振器方向。隨着一對對光子的偏振方向被記錄下來，經過3個多小時，實驗結果的指向非常清晰：與量子理論的預言完全吻合，而與愛因斯坦的預測偏離了5個標準方差。
- 1998年，奧地利因斯布魯克大學的科學家讓光子飛出相距400米，實驗結果與愛因斯坦的預測存在30個標準方差的偏離。
- 2000年，中國的潘建偉在Nature雜誌上報道，他們的實驗與愛因斯坦的預測偏離8個標準方差。
這些實驗結果已足夠判定愛因斯坦所堅持的信念沒有得到支持！
四、判決結果說明了什麼
如果實驗不存在缺陷，那麼實驗結果做出的判決讓我們必須接受的事實是：大多數人所堅信的定域性和實在性，真實的物理世界並不需要同時滿足。
對於阿斯派克特的實驗結果，物理學家們先是出奇的沉默，過了很長一段時間纔開始發表自己的看法。大家對實驗結果的理解非常不同，有人不敢相信，堅持認爲實驗存在缺陷；有人說“原來上帝真的是在擲骰子”。貝爾雖然認可實驗結果，但拒絕放棄實在性，他寧願犧牲定域性也堅持認爲世界是客觀實在的，“上帝不擲骰子”，他堅信量子理論是一個過渡理論，是解釋物理世界的權宜之計。
關於貝爾不等式實驗引發的討論與思考，網上文章舉不勝舉，有很多寫得很好，這裏就不多敘述了。請問你有什麼感想呢？歡迎留言討論。
我寫這篇文章的過程，也是對貝爾不等式逐步理解深入的過程。文章成稿後，我才意識到還有個問題必須要解釋清楚，而這個問題，在我看到過的科普文章中都沒有提及。
下一篇《貝爾不等式實驗真的能證明愛因斯坦錯了嗎》再敘。
看完說點兒什麼吧，要不點一下贊或踩一腳也行。您的任何一點兒反饋都能給我幫助，謝謝！
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