作者：亞馬遜的蝴蝶（Butterfly_of_Amazon）
前些天寫了文章《看見時間（一）》，今天我們接着說時間，嘗試建立一個狹義相對論框架下更直觀、更通用的圖形化時間概念。
我把《看見時間（一）》中的背景再描述一下：有兩個慣性參考系，其中一個相對另一個以速度 v 沿着 x 方向做勻速直線運動，初始時刻兩個參考系原點重合，起始時刻均爲 0。小明坐在第一個參考系原點不動，懷裏揣着一塊懷錶；小紅坐在第二個參考系原點，口袋裏放着一個時鐘，隨着第二個參考系以速度 v 向右遠行。我們稱第一個參考系爲本地系，第二個參考系爲時鐘系。
爲方便計算，基於這兩個參考系的時空圖的縱座標和橫座標分別使用年和光年爲單位，並將速度表達爲多少倍光速，因此光速可以表示爲1，任何運動速度可以簡化表示爲-1到1之間的一個數值。
上一篇文章說到：“時鐘運動速度越快，時間慢得越厲害”。在下面這個基於本地系的時空圖中，我們調整時鐘運動速度，可以看到時鐘顯示隨之變化。
這個圖是把時鐘時間通過數字標註的形式展現的，有沒有圖形化方法呢？答案是“有”，我們只需要增加一維座標就可以了。
這次我們使用 Geogebra 的 3D 圖形計算器。
先用圖形計算器建立一個三維座標，這個三維座標不是由 x、y、z 三個空間維度組成，而是在上一篇文章提到的距離 x 、時間 t 兩維平面時空圖的基礎上，增加一個垂直於原平面的時間維度 t' ，形成 x、t、t' 三維座標。
在這個三維座標上，輸入函數 t²-x²=t'² ，將出現下圖雙圓錐面：
我們來看看，對於 v=0、 v=0.6c 和 v=0.8c 三種情況，怎麼在這個圖中表示時鐘時間呢？
畫三個與網格平面垂直的平面：
x=0
x=0.6t
x=0.8t
它們分別對應以上三個速度 。
俯視圖中，三條線分別是這三個平面與網格平面和圓錐面的交線，綠線對應 v=0，紅線對應 v=0.6c，淺藍色線對應 v=0.8c。
側視圖中能夠看見每個平面與圓錐面都有一條相交直線，交點座標見下面示意圖：
示意圖中，由圓錐面表達式可知圖中綠線頂端與紅線頂端同位於一個半徑爲 t 的圓上，綠線長度爲 t，紅線長度爲 t'，紅線與圓心的距離爲 vt，因此有 t²-(vt)²=t'²，即：
是不是有些眼熟？當 t=1 年時：
如果 v=0， 則 t'=1 年
如果 v=0.6c，則 t'=0.8 年
如果 v=0.8c，則 t'=0.6 年
這正是時鐘在對應運動速度下顯示的時間！
這個旋轉動圖看得更清楚：水平面上的藍點和紅點分別是小明、小紅當前事件座標，其正上方與圓錐面的交點縱軸座標值就是小明的懷錶和小紅的時鐘顯示的時間。圖中 v=0.6c，隨着 t 由 0 逐漸增大，懷錶和時鐘顯示的時間也在增大，增速保持 1/0.8 的關係。
因此，通過以上方法，我們把兩個相對做勻速直線運動的慣性參考系中時間與運動速度的關係通過 3D圖形展現了出來。
任何時候，我們只需要觀察豎直平面與圓錐面交線在縱座標軸方向上的斜率，就知道時間的快慢關係。對於任意一個時間 t，只需計算交線對應點的高度即可知時鐘顯示的時間。
好了，我想我已經把狹義相對論中最簡單情況下的時間關係通過圖講完了。
但實際遇到的問題遠比上面說的要複雜：小紅相對小明不會一直保持速度不變，她是地球人，再怎麼着也得先從地球出發，將來還得回到地球，這個過程中必然要經歷加速減速。對於這些情況我們該怎麼分析呢？
有人說：“狹義相對論只適用於分析慣性參考系，也就是靜止或做勻速直線運動的情況，對於加減速運動則必須用廣義相對論來分析”。
怎麼說呢？歷史上的確曾經以是否涉及非慣性系作爲狹義相對論與廣義相對論解釋範圍的分水嶺——只涉及慣性系的歸入狹義相對論，否則歸入廣義相對論。但後來人們認識到，不應該這樣來劃分，而應以是否涉及時空的彎曲來劃分，涉及時空彎曲的歸廣義相對論，而只涉及速度變化的問題用狹義相對論是可以解釋清楚的。
下面我們就用雙生子佯謬爲例來分析。
設小紅、小明是孿生姐弟，小明留在地面，小紅乘飛船做太空旅行。小紅乘坐的飛船以每年 0.4c 的加速度從地球上起飛，飛向距離地球 8 光年的星球；飛船速度達到 0.8c 後保持勻速直線飛行；距離星球 0.8 光年時開始以每年 -0.4c 的加速度進行減速，速度降爲 0 時正好落在星球上；然後又開始反向加速，重複來時的逆過程回到地球。請問，兩人見面時誰更年輕？
答案是小紅更年輕。
這個問題之所以被稱爲佯謬，是因爲它的答案雖然是對的，但讓人感覺像是錯的。
爲什麼這麼說呢？
因爲人們一般都會質疑：飛船相對地球在運動，按照“鐘慢尺縮”，地球上的人看見飛船上的時鐘變慢，所以小紅會比小明年輕；但反過來，站在飛船上看，地球也在相對飛船運動，飛船上的人看見地球上的時鐘也變慢了，爲什麼相聚後不是地球上的小明更年輕呢？下面我們結合前面提到的 3D圓錐面來分析分析。
在本地系時空圖中，小紅的軌跡見下圖紅線：
由於小紅的軌跡不再是一條從原點出發的斜向直線，因此無法只使用一個圓錐面來分析。但我們注意到：按照洛倫茲變換公式，決定兩個參考系時間快慢比率的只有相對速度 v，因此，可以畫兩個圓錐面，一個圓錐面的頂點位於小明的座標點，跟着小明走，另一個的頂點則位於小紅的座標點，跟着小紅走，兩個圓錐面的中心線均平行於本地系時空圖的 t 軸。
圓錐面指示了懷錶和時鐘的快慢。因爲小明的時空軌跡與 t 軸重合，所以他的懷錶計時永遠與本地時間一致。
小紅的時鐘與本地時間的快慢比例取決於小紅的速度，也就是她的時空軌跡在當前座標點的切線方向，切線所在豎直平面與圓錐面的交線的斜率就是時鐘與本地時間的快慢比率。這樣，我們就擁有了一個圖形版的時鐘快慢指示器。
我們把小明的懷錶和小紅的時鐘顯示時間表示到三維座標的縱座標軸上，就可以直觀地看出時間是如何變化的。見下圖：
可以看出，除了出發、抵達星球、回到地球這三個綠圈中的時刻外，其它過程中小紅的時鐘走得都比小明的懷錶慢，所以相見時，當然是小紅年輕了。
那怎麼回答“爲什麼小紅看見小明的懷錶走得比她的時鐘慢，相見時卻依然是小紅更年輕”這個質疑呢？
我基於時鐘系時空圖來解釋。
講之前還是要重複一下我在上一篇文章中關於“同時”這個概念的說明：狹義相對論裏提到的“看到”、“發現”的同時事件是指等時線上的事件，是不考慮光信號傳播時間的。如果對這個有疑問，請看我上一篇文章《看見時間（一）》。
圖A中水平面上的藍色虛線和紅色虛線分別是本地系中小明的等時線和時鐘系中小紅的等時線，奧祕就藏在紅色等時線裏。
在上一篇文章中我們說了：在小紅看來，她所看見的小明不是正在看小紅的藍色等時線上的小明，而是紅色等時線上更年輕的小明。但在小紅的飛船減速直至返航的過程中，情況卻發生了劇烈變化。圖A可以看出，紅色等時線的角度發生了大幅偏轉，等時線與小明時空軌跡的交點迅速向前推進，超越了藍色等時線上的小明，因此小紅看到小明的歲數迅速增加；偏轉完成後，小紅看見的小明是正在看她的小明之後的小明。
這張圖中可以看出，飛船調頭的這4年中，小紅的時鐘由6.559年走到10.077年，增加了3.518年，而紅色等時線上的小明經歷的時間跨度卻是從4.24到19.76的15.52年！
我們切換到時鐘系視角，圖A變成下圖樣子：
在這張圖中，小明經歷的 15.52 年要在綠色 t 座標軸的 3.518 年中走完，因此出現了坡度陡增的那段淺藍色軌跡。造成陡增的原因僅僅是時鐘系中的小紅觀察到的是不同時間的小明而已。
去掉縱座標軸，時空圖變成下圖平面模式：
飛船調頭時小紅髮現小明迅速遠離，導致小明的時空軌跡中有個詭異的鼓包，這是飛船減速導致的“尺縮”效應減小與地球持續遠離的綜合作用，並不是兩人的相對速度猛增，這些都是基於狹義相對論的正常現象。
細心的朋友可能會問：爲什麼小紅的等時線角度會發生這麼大的偏轉，而小明的等時線卻不會呢？
這是因爲只有小紅經歷了速度的變化。乘車時我們都體驗過加速時車座的推背感和減速時安全帶的拽拉感，小紅當然也體驗到了飛船加減速時的力，而小明從始至終沒有感覺到地球速度的變化。當然這麼回答你，你一定覺得有些隨意，顯得很不“物理”，很不專業。這個問題其實是關於“空間是絕對的還是相對的”問題，在物理學歷史上曾經是一個爭論不休的話題，我先暫時這麼簡單回答，有時間在以後的文章中再詳細講它。
因此畫時空圖時，如果涉及多個參考系、多個運動事件，建議選擇其中的慣性參考系作爲時空圖的基礎，只有在這樣的時空圖上才能更直觀地觀察各個事件的時空軌跡。否則，將不得不考慮等時線偏轉帶來的影響，導致問題大大地複雜化。
我在前面畫的所有的圖，展現的都只是發生在一維空間 x 上的事件，當然二維空間（x, y）中的事件也可以通過時空圖來展現，只是這時沒有富餘的維度來表示 t' 而已。至於三維空間（x, y, z）中的事件，它的時空圖就只能存在於我們腦海中了，無法通過三維圖形來展示。
強烈建議你也嘗試畫一畫時空圖，畫圖的過程一定會帶給你奇妙的體驗，讓你對狹義相對論有更深刻的理解。你會發現以前那麼多的疑惑很神奇地以一種想象不到的方式得到了解答，並且解答得如此合情合理。畫圖時幫你在腦海中建立起來的時空圖景，一定會爲你探索更加複雜有趣的物理世界提供巨大的幫助。
《看見時間》系列講到這裏就告一段落了，實際上不只是這兩篇文章，包括我之前寫的幾篇文章，我自信是一套對狹義相對論比較全面的講解，相信對初學者會有很好的幫助。
知乎上有一個問題：“學習了相對論會怎麼樣”？有個回答得到了很多點贊：“頭髮會變少”，下面馬上有人跟上一句：“學習狹義相對論不會，學習廣義相對論纔會”，所以我的這幾篇文章你可以放心閱讀。
我的下一個目標是廣義相對論。今天先自拍一張照片，等學完再對比一下，看看頭髮到底少沒少，哈哈。
文章中所有動圖的 ggb 源程序我都放在網盤中，如果需要請留言。