作者：亞馬遜的蝴蝶（Butterfly_of_Amazon）
果殼上有一篇文章《這一切要從碰撞的滑塊和量子搜索講起》，指出圓周率π與滑塊碰撞次數有種奇妙的關係。今天給大家說說爲什麼會有這樣的奇妙關係。
一、奇妙的關係
在光滑的平面上放着兩個1 kg的滑塊，在它們的左側有一面堅固且不可移動的牆。兩個滑塊一個離牆近一些，一個遠一些，而且後者正在向前者滑去。可以想象，接下來將會產生許多次碰撞。假設每次碰撞時都沒有動能損失，整個過程將像下面圖中展示的那樣：
右側的滑塊碰撞左側的滑塊，並將全部動量轉移給左側滑塊，左側滑塊碰到牆反彈回來，再與右側滑塊發生碰撞並將動量全部轉移過去。期間左側滑塊一共發生了3次碰撞。如果我們增大右側滑塊的質量，會發現有趣的事情：將右側滑塊質量換成100 kg，那每次碰撞時只會有一小部分動量發生轉移，將會碰撞31次；如果將右側滑塊質量換成10000kg，那整個過程將發生314次碰撞。
不斷100倍100倍地增加右側滑塊質量，你會發現神奇的現象：總碰撞次數與π每一位的數字越來越接近。
二、這是真的嗎
是不是很神奇？我通過計算，驗證100kg、10000kg和1000000kg的情況，發現都與這個結論相符。驗證過程如下：
設滑塊a和滑塊b的質量分別爲ma和mb，速度爲va和vb。速度隨着碰撞而改變，設兩個滑塊間發生第n次碰撞後的速度分別爲va,n和vb,n。
由於碰撞過程中沒有動能損失，因此滑塊a碰撞左側牆壁後，速度將大小不變，方向相反。結合動量守恆定律，可列下式：
-mava,n-1 + mbvb,n-1 = mava,n + mbvb,n ........①
因爲碰撞過程中總動能不變，可列下式：
mav2a,n-1 + mbv2b,n-1 = mav2a,n + mbv2b,n ...②
設mb = K·ma（圖2中K爲1000000，圖3中K爲100），由式①、②計算可得：
當vb,n爲負，且|va,n|<=|vb,n|時，兩個滑塊將不再發生碰撞，此時如果va,n>0，則滑塊a還將與牆壁碰撞一次。將式③、④寫成Excel表格中公式，設vb初始速度爲1，通過拖拽可方便地得到下表（表中以K=100爲例）：
以表1中vb爲縱座標，va爲橫座標，可得下面半圓圖形：
細心的你可能已經看出：上圖並不是真正的半圓，因爲圖中橫座標最大值是10，而縱座標最大值是1，需要把縱座標乘以10纔是真正的半圓。爲了方便描述，姑且把它稱爲半圓。
三、爲什麼會這樣
爲什麼圓周率π與滑塊碰撞次數之間有這樣奇妙的關係？計算告訴你答案。
先問一個問題：根據表1中的數據，如何估算圖4半圓的上半部分（也就是四分之一個圓）的面積S？
可能你已經想到了：可以把這四分之一個圓近似看成由8（約爲n的最大值的一半）個豎長條組成，每個豎條的寬是相鄰兩點間的橫座標距離，也就是相鄰兩次碰撞後滑塊a的速度差，高是這兩點縱座標的平均值，也就是相鄰兩次碰撞後滑塊b的平均速度。將這8個豎條的面積之和當作S的近似值，雖然與真實值存在偏差，但通過增加圓上點的數量，也就是增加碰撞數量，從而增加豎條數量，可以減小偏差。
設碰撞次數的最大值爲N，可列下式：
再換個角度：把S近似爲8個橫條的面積之和，每個橫條的高是相鄰兩點間的縱座標距離，寬是這兩點橫座標的平均值。可列下式：
⑤+⑥，得：
將③、④代入⑦，得：
因爲式②、mb=K×ma、vb初始值=1，所以
由式⑨可知，所有座標爲 (va,√K·vb) 的點位於一個半徑爲 √K 的圓上，此圓的面積爲 K×π ；而S爲此圓縱座標被壓扁到 1/√K 後面積的四分之一，因此有：
將⑩代入S，並考慮到在K非常大時，K/(K+1)≈1，可得：
N是兩個滑塊在前半程中相互碰撞的次數，後半程兩個滑塊相互碰撞次數也爲N，滑塊a與牆壁碰撞的次數爲2N，故4N的整數部分即爲總碰撞次數。這就是爲什麼圓周率π與滑塊碰撞次數之間有這樣的奇妙關係！
前面出現的式⑤提供了一個迭代計算圓周率π的方法。我通過迭代計算785次矩形面積，將圓周率精確到了小數點後5位（3.14159），計算過程中藉助了Excel表格，有興趣的朋友可以試試。
看完說點兒什麼吧，要不點一下贊或踩一腳也行。您的任何一點兒反饋都能給我幫助，謝謝！