深度學習與計算機視覺系列(9)_串一串神經網絡之動手實現小例子

作者：寒小陽&&龍心塵
時間：2016年1月。
出處：
http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/50521072
http://blog.csdn.net/longxinchen_ml/article/details/50521933
聲明：版權所有，轉載請聯繫作者並註明出處

1.引言

前面8小節，算從神經網絡的結構、簡單原理、數據準備與處理、神經元選擇、損失函數選擇等方面把神經網絡過了一遍。這個部分我們打算把知識點串一串，動手實現一個簡單的2維平面神經網絡分類器，去分割平面上的不同類別樣本點。爲了循序漸進，我們打算先實現一個簡單的線性分類器，然後再拓展到非線性的2層神經網絡。我們可以看到簡單的淺層神經網絡，在這個例子上就能夠有分割程度遠高於線性分類器的效果。

2.樣本數據的產生

爲了凸顯一下神經網絡強大的空間分割能力，我們打算產生出一部分對於線性分類器不那麼容易分割的樣本點，比如說我們生成一份螺旋狀分佈的樣本點，如下：

N = 100 # 每個類中的樣本點
D = 2 # 維度
K = 3 # 類別個數
X = np.zeros((N*K,D)) # 樣本input
y = np.zeros(N*K, dtype='uint8') # 類別標籤
for j in xrange(K):
  ix = range(N*j,N*(j+1))
  r = np.linspace(0.0,1,N) # radius
  t = np.linspace(j*4,(j+1)*4,N) + np.random.randn(N)*0.2 # theta
  X[ix] = np.c_[r*np.sin(t), r*np.cos(t)]
  y[ix] = j
# 可視化一下我們的樣本點
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral)

得到如下的樣本分佈：

紫色，紅色和黃色分佈代表不同的3種類別。

一般來說，拿到數據都要做預處理，包括之前提到的去均值和方差歸一化。不過我們構造的數據幅度已經在-1到1之間了，所以這裏不用做這個操作。

3.使用Softmax線性分類器

3.1 初始化參數

我們先在訓練集上用softmax線性分類器試試。如我們在之前的章節提到的，我們這裏用的softmax分類器，使用的是一個線性的得分函數/score function，使用的損失函數是互熵損失/cross-entropy loss。包含的參數包括得分函數裏面用到的權重矩陣W和偏移量b，我們先隨機初始化這些參數。

#隨機初始化參數
import numpy as np
#D=2表示維度，K=3表示類別數
W = 0.01 * np.random.randn(D,K)
b = np.zeros((1,K))

3.2 計算得分

線性的得分函數，將原始的數據映射到得分域非常簡單，只是一個直接的矩陣乘法。

#使用得分函數計算得分
scores = np.dot(X, W) + b

在我們給的這個例子中，我們有2個2維點集，所以做完乘法過後，矩陣得分scores其實是一個[300*3]的矩陣，每一行都給出對應3各類別(紫，紅，黃)的得分。

3.3 計算損失

然後我們就要開始使用我們的損失函數計算損失了，我們之前也提到過，損失函數計算出來的結果代表着預測結果和真實結果之間的吻合度，我們的目標是最小化這個結果。直觀一點理解，我們希望對每個樣本而言，對應正確類別的得分高於其他類別的得分，如果滿足這個條件，那麼損失函數計算的結果是一個比較低的值，如果判定的類別不是正確類別，則結果值會很高。我們之前提到了，softmax分類器裏面，使用的損失函數是互熵損失。一起回憶一下，假設f是得分向量，那麼我們的互熵損失是用如下的形式定義的：

Li=−log⎛⎝efyi∑jefj⎞⎠

直觀地理解一下上述形式，就是Softmax分類器把類別得分向量f中每個值都看成對應三個類別的log似然概率。因此我們在求每個類別對應概率的時候，使用指數函數還原它，然後歸一化。從上面形式裏面大家也可以看得出來，得到的值總是在0到1之間的，因此從某種程度上說我們可以把它理解成概率。如果判定類別是錯誤類別，那麼上述公式的結果就會趨於無窮，也就是說損失相當相當大，相反，如果判定類別正確，那麼損失就接近log(1)=0 。這和我們直觀理解上要最小化損失是完全吻合的。

當然，當然，別忘了，完整的損失函數定義，一定會加上正則化項，也就是說，完整的損失L應該有如下的形式：

L=1N∑iLidata loss+12λ∑k∑lW2k,lregularization loss

好，我們實現以下，根據上面計算得到的得分scores，我們計算以下各個類別上的概率：

# 用指數函數還原
exp_scores = np.exp(scores)
# 歸一化
probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)

在我們的例子中，我們最後得到了一個[300*3]的概率矩陣prob，其中每一行都包含屬於3個類別的概率。然後我們就可以計算完整的互熵損失了：

#計算log概率和互熵損失
corect_logprobs = -np.log(probs[range(num_examples),y])
data_loss = np.sum(corect_logprobs)/num_examples
#加上正則化項
reg_loss = 0.5*reg*np.sum(W*W)
loss = data_loss + reg_loss

正則化強度λ 在上述代碼中是reg，最開始的時候我們可能會得到loss=1.1，是通過np.log(1.0/3)得到的(假定初始的時候屬於3個類別的概率一樣)，我們現在想最小化損失loss

3.4 計算梯度與梯度回傳

我們能夠用損失函數評估預測值與真實值之間的差距，下一步要做的事情自然是最小化這個值。我們用傳統的梯度下降來解決這個問題。多解釋一句，梯度下降的過程是：我們先選取一組隨機參數作爲初始值，然後計算損失函數在這組參數上的梯度(負梯度的方向表明了損失函數減小的方向)，接着我們朝着負梯度的方向迭代和更新參數，不斷重複這個過程直至損失函數最小化。爲了清楚一點說明這個問題，我們引入一箇中間變量p ，它是歸一化後的概率向量，如下：

pk=efk∑jefjLi=−log(pyi)

我們現在希望知道朝着哪個方向調整權重能夠減小損失，也就是說，我們需要計算梯度∂Li/∂fk 。損失Li 從p 計算而來，再退一步，依賴於f 。於是我們又要做高數題，使用鏈式求導法則了，不過梯度的結果倒是非常簡單：

∂Li∂fk=pk−1(yi=k)

解釋一下，公式的最後一個部分表示yi=k 的時候，取值爲1。整個公式其實非常的優雅和簡單。假設我們計算的概率p=[0.2, 0.3, 0.5]，而中間的類別纔是真實的結果類別。根據梯度求解公式，我們得到梯度df=[0.2,−0.7,0.5] 。我們想想梯度的含義，其實這個結果是可解釋性非常高的：大家都知道，梯度是最快上升方向，我們減掉它乘以步長才會讓損失函數值減小。第1項和第3項(其實就是不正確的類別項)梯度爲正，表明增加它們只會讓最後的損失/loss增大，而我們的目標是減小loss；中間的梯度項-0.7其實再告訴我們，增加這一項，能減小損失Li ，達到我們最終的目的。

我們依舊記probs爲所有樣本屬於各個類別的概率，記dscores爲得分上的梯度，我們可以有以下的代碼：

dscores = probs
dscores[range(num_examples),y] -= 1
dscores /= num_examples

我們計算的得分scores = np.dot(X, W)+b，因爲上面已經算好了scores的梯度dscores，我們現在可以回傳梯度計算W和b了：

dW = np.dot(X.T, dscores)
db = np.sum(dscores, axis=0, keepdims=True)
#得記着正則化梯度哈
dW += reg*W

我們通過矩陣的乘法得到梯度部分，權重W的部分加上了正則化項的梯度。因爲我們在設定正則化項的時候用了係數0.5(ddw(12λw2)=λw )，因此直接用reg*W就可以表示出正則化的梯度部分。

3.5 參數迭代與更新

在得到所需的所有部分之後，我們就可以進行參數更新了：

#參數迭代更新
W += -step_size * dW
b += -step_size * db

3.6 大雜合：訓練SoftMax分類器

#代碼部分組一起，訓練線性分類器

#隨機初始化參數
W = 0.01 * np.random.randn(D,K)
b = np.zeros((1,K))

#需要自己敲定的步長和正則化係數
step_size = 1e-0
reg = 1e-3 #正則化係數

#梯度下降迭代循環
num_examples = X.shape[0]
for i in xrange(200):

  # 計算類別得分, 結果矩陣爲[N x K]
  scores = np.dot(X, W) + b 

  # 計算類別概率
  exp_scores = np.exp(scores)
  probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True) # [N x K]

  # 計算損失loss(包括互熵損失和正則化部分)
  corect_logprobs = -np.log(probs[range(num_examples),y])
  data_loss = np.sum(corect_logprobs)/num_examples
  reg_loss = 0.5*reg*np.sum(W*W)
  loss = data_loss + reg_loss
  if i % 10 == 0:
    print "iteration %d: loss %f" % (i, loss)

  # 計算得分上的梯度
  dscores = probs
  dscores[range(num_examples),y] -= 1
  dscores /= num_examples

  # 計算和回傳梯度
  dW = np.dot(X.T, dscores)
  db = np.sum(dscores, axis=0, keepdims=True)

  dW += reg*W # 正則化梯度

  #參數更新
  W += -step_size * dW
  b += -step_size * db

得到結果：

iteration 0: loss 1.096956
iteration 10: loss 0.917265
iteration 20: loss 0.851503
iteration 30: loss 0.822336
iteration 40: loss 0.807586
iteration 50: loss 0.799448
iteration 60: loss 0.794681
iteration 70: loss 0.791764
iteration 80: loss 0.789920
iteration 90: loss 0.788726
iteration 100: loss 0.787938
iteration 110: loss 0.787409
iteration 120: loss 0.787049
iteration 130: loss 0.786803
iteration 140: loss 0.786633
iteration 150: loss 0.786514
iteration 160: loss 0.786431
iteration 170: loss 0.786373
iteration 180: loss 0.786331
iteration 190: loss 0.786302

190次循環之後，結果大致收斂了。我們評估一下準確度：

#評估準確度
scores = np.dot(X, W) + b
predicted_class = np.argmax(scores, axis=1)
print 'training accuracy: %.2f' % (np.mean(predicted_class == y))

輸出結果爲49%。不太好，對吧？實際上也是可理解的，你想想，一份螺旋形的數據，你偏執地要用一個線性分類器去分割，不管怎麼調整這個線性分類器，都非常非常困難。我們可視化一下數據看看決策邊界(decision boundaries)：

4.使用神經網絡分類

從剛纔的例子裏可以看出，一個線性分類器，在現在的數據集上效果並不好。我們知道神經網絡可以做非線性的分割，那我們就試試神經網絡，看看會不會有更好的效果。對於這樣一個簡單問題，我們用單隱藏層的神經網絡就可以了，這樣一個神經網絡我們需要2層的權重和偏移量：

# 初始化參數
h = 100 # 隱層大小(神經元個數)
W = 0.01 * np.random.randn(D,h)
b = np.zeros((1,h))
W2 = 0.01 * np.random.randn(h,K)
b2 = np.zeros((1,K))

然後前向計算的過程也稍有一些變化：

#2層神經網絡的前向計算
hidden_layer = np.maximum(0, np.dot(X, W) + b) # 用的 ReLU單元
scores = np.dot(hidden_layer, W2) + b2

注意到這裏，和之前線性分類器中的得分計算相比，多了一行代碼計算，我們首先計算第一層神經網絡結果，然後作爲第二層的輸入，計算最後的結果。哦，對了，代碼裏大家也看的出來，我們這裏使用的是ReLU神經單元。

其他的東西都沒太大變化。我們依舊按照之前的方式去計算loss，然後計算梯度dscores。不過反向回傳梯度的過程形式上也有一些小小的變化。我們看下面的代碼，可能覺得和Softmax分類器裏面看到的基本一樣，但注意到我們用hidden_layer替換掉了之前的X:

# 梯度回傳與反向傳播
# 對W2和b2的第一次計算
dW2 = np.dot(hidden_layer.T, dscores)
db2 = np.sum(dscores, axis=0, keepdims=True)

恩，並沒有完事啊，因爲hidden_layer本身是一個包含其他參數和數據的函數，我們得計算一下它的梯度：

dhidden = np.dot(dscores, W2.T)

現在我們有隱層輸出的梯度了，下一步我們要反向傳播到ReLU神經元了。不過這個計算非常簡單，因爲r=max(0,x) ，同時我們又有drdx=1(x>0) 。用鏈式法則串起來後，我們可以看到，回傳的梯度大於0的時候，經過ReLU之後，保持原樣；如果小於0，那本次回傳就到此結束了。因此，我們這一部分非常簡單：

#梯度回傳經過ReLU
dhidden[hidden_layer <= 0] = 0

終於，翻山越嶺，回到第一層，拿到總的權重和偏移量的梯度：

dW = np.dot(X.T, dhidden)
db = np.sum(dhidden, axis=0, keepdims=True)

來，來，來。組一組，我們把整個神經網絡的過程串起來：

# 隨機初始化參數
h = 100 # 隱層大小
W = 0.01 * np.random.randn(D,h)
b = np.zeros((1,h))
W2 = 0.01 * np.random.randn(h,K)
b2 = np.zeros((1,K))

# 手動敲定的幾個參數
step_size = 1e-0
reg = 1e-3 # 正則化參數

# 梯度迭代與循環
num_examples = X.shape[0]
for i in xrange(10000):

  hidden_layer = np.maximum(0, np.dot(X, W) + b) #使用的ReLU神經元
  scores = np.dot(hidden_layer, W2) + b2

  # 計算類別概率
  exp_scores = np.exp(scores)
  probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True) # [N x K]

  # 計算互熵損失與正則化項
  corect_logprobs = -np.log(probs[range(num_examples),y])
  data_loss = np.sum(corect_logprobs)/num_examples
  reg_loss = 0.5*reg*np.sum(W*W) + 0.5*reg*np.sum(W2*W2)
  loss = data_loss + reg_loss
  if i % 1000 == 0:
    print "iteration %d: loss %f" % (i, loss)

  # 計算梯度
  dscores = probs
  dscores[range(num_examples),y] -= 1
  dscores /= num_examples

  # 梯度回傳
  dW2 = np.dot(hidden_layer.T, dscores)
  db2 = np.sum(dscores, axis=0, keepdims=True)

  dhidden = np.dot(dscores, W2.T)

  dhidden[hidden_layer <= 0] = 0
  # 拿到最後W,b上的梯度
  dW = np.dot(X.T, dhidden)
  db = np.sum(dhidden, axis=0, keepdims=True)

  # 加上正則化梯度部分
  dW2 += reg * W2
  dW += reg * W

  # 參數迭代與更新
  W += -step_size * dW
  b += -step_size * db
  W2 += -step_size * dW2
  b2 += -step_size * db2

輸出結果：

iteration 0: loss 1.098744
iteration 1000: loss 0.294946
iteration 2000: loss 0.259301
iteration 3000: loss 0.248310
iteration 4000: loss 0.246170
iteration 5000: loss 0.245649
iteration 6000: loss 0.245491
iteration 7000: loss 0.245400
iteration 8000: loss 0.245335
iteration 9000: loss 0.245292

現在的訓練準確度爲：

#計算分類準確度
hidden_layer = np.maximum(0, np.dot(X, W) + b)
scores = np.dot(hidden_layer, W2) + b2
predicted_class = np.argmax(scores, axis=1)
print 'training accuracy: %.2f' % (np.mean(predicted_class == y))

你猜怎麼着，準確度爲98%，我們可視化一下數據和現在的決策邊界：

看起來效果比之前好多了，這充分地印證了我們在手把手入門神經網絡系列(1)_從初等數學的角度初探神經網絡中提到的，神經網絡對於空間強大的分割能力，對於非線性的不規則圖形，能有很強的劃分區域和區分類別能力。

參考資料與原文

cs231n 神經網絡小例子