數學不是邏輯

    數學（mathematics或maths，其英文來自希臘語，“máthēma”；經常被縮寫爲“math”），是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，從某種角度看屬於形式科學的一種。數學家和哲學家對數學的確切範圍和定義有一系列的看法。

    而在人類歷史發展和社會生活中，數學也發揮着不可替代的作用，也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。

    邏輯（logic）源自古典希臘語（logos），最初的意思是“詞語”或“言語”，（引申出意思“思維”或“推理”），指的是思維的規律和規則。

    狹義上邏輯既指思維的規律，也指研究思維規律的學科即邏輯學。廣義上邏輯泛指規律，包括思維規律和客觀規律。

    邏輯包括形式邏輯與辯證邏輯，形式邏輯包括歸納邏輯與演繹邏輯，辯證邏輯包括矛盾邏輯與對稱邏輯。對稱邏輯是人的整體思維（包括抽象思維與具象思維）的邏輯。

有人說：數學=邏輯+公理

數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上，並研究此一架構的成果。

數學與邏輯的區別？

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  相信大家都聽說過這些詞語，數學證明、邏輯證明、實驗證明、實踐證明、法律證明。很明顯，它們是幾種不同的證明方法。那麼，數學證明和邏輯證明有什麼不同呢？

     邏輯是一種論證和證明的方法。怎麼進行論證和證明呢？就是“從普遍推進到個別的”，也就是三段論：從大前提、小前提推出結論。這些都是亞里士多德的《工具論》裏面的原話。

    亞里士多德還明確說過，幾何學所使用的推理方法跟論辯和辯證使用的推理似乎不同。

    這個不同表現在哪裏呢？邏輯論證是從大前提出發，也就是從一個前提出發，一層一層推理出各種各樣的結論。

     比如亞里士多德的《物理學》，就是用三段論邏輯來論證的，也就是從“地球是宇宙的中心，地球是不動的”這個前提出發，來解釋宇宙萬物爲什麼會運動和變化。

   由於地球是不動的，又是宇宙的中心，那就必須有一個最初推動者，通過密佈於空中的看不見、摸不着的以太，把力一層一層傳遞給了各個物體，於是纔有了雲彩漂移、雨點落下來、弓箭射出去、拋石機拋擲出石彈、手扔出去石子。

   如果沒有以太這種看不見、摸不着的物質，那麼力就無法傳遞，也就不會有各種各樣的運動和變化。

   這就有點像多米諾骨牌，沒有第一個推動者，那就不會出現連環的倒塌。倒塌本身就是一種運動和變化。

    從地球是不動的，地球是宇宙的中心這個前提出發，還解釋了太陽和月亮爲什麼繞着地球飛行；重的物體爲什麼往下落，輕的物體爲什麼向上飛；蘋果和植物爲什麼會腐爛。

    也得到了很多結論，比如重的物體比輕的物體先落地。

   總之，亞里士多德的《物理學》是邏輯論證和純粹思辨的物理學，既不用數學，也不做實驗。如果他做實驗，那就會發現“重的物體比輕的物體先落地”這個結論是站不住腳的。

數學和邏輯學：爲什麼邏輯是一切的基礎？

吳  軍

你好，歡迎來到我的《數學通識50講》。

我們在課程中多次講到，數學結論的正確性，取決於公理的正確性，以及邏輯的嚴密性，因此數學和邏輯是密不可分的，特別是像歐幾里得幾何這種數學體系，完全依賴於邏輯。但是，數學和邏輯又是完全獨立的兩門學問，不能混爲一談。

一般認爲，邏輯是人類理性的體現，它的基本原理其實都是大白話，但是仔細琢磨起來很有道理，更關鍵的是，只有少數人能夠堅持那些看似大白話的基本原理。因此，我們就從邏輯學的基本原理，以及和數學的關係講起。

• 同一律：蘋果就是蘋果，不是橘子

首先要說的是同一律，它通常的表述是，一個事物只能是其本身。這句大白話背後的含義是，世界上任何一個個體都是獨一無二的。注意這裏說的是個體，不是羣體。一個事物只能是其本身，而不能是其他什麼事物。蘋果就是蘋果，不會是橘子或者香蕉。

因爲有同一律，我們纔可以識別出每一個個體，這在數學上可以用A=A這樣的公式表示，而且當一個個體從一個地方移到另一個地方去之後，它就不會在原來的地方，而會出現在新的地方。

比如我們有一個等式X+5=7，當我們把5從等式的左邊移到右邊去之後，就變成了X=7-5，等式的左邊只有X，不可能再有5這個數字了。

很多孩子解方程，把數字從一邊移到另一邊的同時，忘記了把原來的數字消去，最後題做錯了，自己還有家長只是覺得粗心了而已。其實在每一次粗心的背後，都有概念不熟悉的深層次原因。具體到這個問題，就是根本不理解同一律。

同一律在集合論中特別重要，集合中的所有元素必須都是獨一無二的。比如我們說整數的集合，裏面只能有一個3，不能有兩個，如果有兩個，就出錯了，這一點很容易理解。但是，在生活中，很多人自覺不自覺地在違反同一律，一個最典型的情況就是偷換概念，具體講就是把不同含義的概念使用了同一個名稱，達到瞞天過海的目的。

人有些時候偷換概念是不自覺的，比如很多詞的含義有二義性，他搞不清楚，造成了自己頭腦的混亂，或者把一個個體和一個集合等價起來，以偏概全。比如有些人會講，股市都是騙局，他們的經驗是來自一部分股票，是個體，但是講這句話的時候，就把股票換成了集合，也就是股市。

自己不懂的邏輯，頭腦不清，講出的話違反了同一律後，就會造成別人的誤解，甚至自己也會被繞進去，很多人缺乏好的溝通能力，可以溯源到講話經常違反同一律上。

另一方面，也有人是故意違反同一律，比如悄悄改變某個概念的內涵和外延，把它變成了另外一個概念，或者將似是而非的概念混在一起講。比如商家常常用“限量版”這個詞對外宣傳，讓人感覺數量非常有限。其實世界上任何商品的數量都是有限的，只是多和少而已。

很多商品，並沒有限量版一說，但其實數量比同類的限量版要少很多。比如說施坦威鋼琴一年一共生產2000臺左右，大型的Model D只有上百臺，但是施坦威從來不說限量版。相反，日本限量版的鋼琴數量常常比施坦威相應型號的總數量多很多了，但是一說限量版，大家就有高大上的感覺，這其實是偷換了限量版這個概念的外延。

再舉一個例子，你會發現美國的左派和右派都在喊平等，但是總是在吵架，因爲他們一個說的是結果平等，一個說的是機會平等，這是因爲把很多相混淆的概念裝進了一個名詞中，違反了同一律。

在數學上，要嚴格遵守同一律。爲了防止出現違反同一律的情況，就需要把概念定義得極爲精確，在法律上也是如此。在生活中，我和別人溝通時，我常常會用我的語言複述一下對方的話，明確我們是在討論同一件事情，這一點很重要。很多時候，我們和別人溝通中的誤解，就來源於忽視了同一律。

• 矛盾律：不可能既是A又不是A
  

接下來要說的是矛盾律。它通常的表述是：在某個事物的某一個方面（在同一時刻），不可能既是A又不是A。我們前面介紹的數學中的反證法，就是基於矛盾律。

矛盾律“contradiction”一詞是由兩個詞根組合而成的，前一個詞根“contra”是“相反”的意思，第二個詞根“dicti”是“講話”的意思，顧名思義，它就是指講話的意思相對立。

也有人把矛盾律看作是同一律的延伸，因爲“是A”和“不是A”是兩個不同的個體，自然不可能相同。我之所以強調事物的某一個方面，因爲事物本身可能是多方面的，不同方面可能有不同的表現。比如在前面的課程中，有同學問，光的波粒二象性是否違反矛盾律？這其實不違反，因爲它講的是一個事物的不同方面。

類似的，有人會講，我人在某處，心卻在你身邊，這也不違反矛盾律。但是，如果說，某時某刻，我人在北京，人又不在北京，這就違反了矛盾律。在辦案中，我們說的不在場證據，之所以能成立，是因爲有矛盾律作保證。

在數學和自然科學中，很多重大的發現都是源於矛盾律的使用。比如在前面提到的畢達哥拉斯定理和無理數的內容中，這個定理和有理數性質的矛盾，就導致了無理數的被發現。在物理學上，麥克斯韋方程組和經典力學方程的矛盾，就導致了後來相對論的提出。

在生活中，有人會挑戰矛盾律，比如有人說：“我是一個矛盾的人，既慷慨大方，又斤斤計較。對於教育我總是慷慨解囊，對自己的生活非常節省。”這種說法看似沒有違反矛盾律，其實已經違反了前面講的同一律，因爲偷換了概念。

爲了防止大家在使用矛盾律時偷換概念，邏輯學家們一般強調四個“同一”，即同一時間、同一方面、同一屬性、同一對象，總之強調的是獨一無二的事件。

• 排中律：“是非”明確
  

最後，我們來說說排中律，它通常的表述是，任何事物在明確的條件下，都要有明確的“是”或“非”的判斷，不存在中間狀態。

比如在數學上，一個數字，要麼大於零，要麼不大於零，沒有中間狀態。有人可能會說，等於零不就是中間狀態麼？其實大於零的反面並非小於零，而是不大於零或者說小於等於零，因此等於零的情況其實就是不大於零的一種。

排中律保證了數學的明確性，通常我們在數學上使用排中律原則最多的時候，就是在所謂的排除法或者枚舉法中。當我們排除了一種情況時，和它相反的情況就一定會發生。如果有多於兩種對立的情況，我們可以先把所有可能的情況二分，然後再不斷二分，直到每一個彼此不重複的情況爲止。

在計算機科學中，任何和二分相關的算法，其邏輯基礎都是排中律。在這種思路的指導下，1976年，美國數學家阿佩爾和哈肯藉助電子計算機，證明了四色（地圖）定理。這是圖論中一個非常著名的難題，它說的是在任何地圖上，只要用四種顏色就能夠給所有的國家（或者地域）染色，保證相鄰的地域顏色不同。

這個問題的難度在於情況太多、太複雜，因此數學家們努力了100多年也沒有結果。阿佩爾和哈肯的高明之處在於，他們用計算機窮舉了所有的情況，然後藉助計算機一一證明了各種情況。而這種證明方法的正確性，是靠排中律保障的。

講到排中律，就不得不講西方人和東方人在思維上的一種差異。在美國的大學和研究生升學考試SAT和GRE中，都要寫作文，作文題目通常是就一個觀點發表贊同或者反對的意見。

中國學生的思維方式，常常是“既要……又要……”，比如讓他分析是否要禁菸草，他會說：“因爲吸菸對人體有害，因此我贊成禁菸，但是來自菸草的稅收在國家的總稅收裏佔很大的比例，所以，也不贊成完全禁菸。”

這種作文或許在中國的高考中能得到不錯的分數，但是在SAT和GRE的考試中，都會是不及格的分數，因爲它首先違反了排中律。這不是文學寫作水平的問題，是邏輯上的問題。

通常，稍微有一點邏輯的人在講話時，會注意不違反排中律。但是不少人在不注意的時候，還是會被人設套。比如一個檢察官問犯罪嫌疑人：“你收受的賄賂中有沒有奔馳汽車？”這其實就有一個圈套，因爲問話包含了一個預設，即對方已經有了收受賄賂的行爲。

對此問題，如果簡單地回答沒有，其實等於變相承認了自己有受賄行爲。有經驗的辯方律師這時候需要向法官提出抗議，抗議檢方這種設有圈套的問法。當然，作爲被告方，好的回答是否定對方的大前提，即直接回答，我根本沒有接受過賄賂。

• 充分條件律：有果必有因
  

此外，很多邏輯學家也把“充分條件律”和上述三個基本原則等同起來，一同稱爲邏輯的四個基本原則。所謂“充分條件律”，講的是任何結論都要有充足的理由，這也就是我們常說的因果原理。任何數學的推理，都離不開充分條件律。

充分條件律成立的原因，在於宇宙中任何事物不能自我解釋，或者說不依賴於其它事物而存在。

比如邏輯學家們經常會講，爲什麼有我呢？不是天生就有我，而是因爲有我的父母存在。再比如說，爲什麼張三數學成績好？是因爲他聰明，老師好，學校條件好，或者學習努力而且方法好，等等，而不是毫無條件的，天生數學就好。當然，很多時候僅僅一個或幾個條件本身還夠不成充分條件，需要上述條件都滿足纔行。

數學正是因爲有內在的邏輯性，才避免了可能的自相矛盾之處。

這一講我想告訴大家的是：人們通常會身陷矛盾而不自知，因爲缺乏邏輯性。人們有時也會對某個重要的事物想不清楚，不知道該如何作判斷，其實運用邏輯，把事實分析一遍，真相就清楚了。這應該是邏輯學和數學給我們的啓發。而學習邏輯很好的方法就是學習好數學。

    由於機是用數學形式化語言描述出來的，而人則是用自然語言或思維語言描述世界的，所以人機融合智能就是自然語言或思維語言+數學語言共同描述的智能形式。數學不是邏輯，數學是一種涉及符號相等與蘊含關係的邏輯表達形式；自然語言或思維語言中包含着邏輯，也存在着許多非邏輯，所以從根本上而言，人機融合智能就是一種邏輯與非邏輯的綜合高效表徵形式。