替罪羊樹學習筆記

替罪羊樹基於一種暴力重構的操作來保證平衡，具體來說，就是定義一個平衡因子alphaalpha ，當某個節點x的某棵子樹的x.ch.size>x.size*alphax.ch.size>x.size∗alpha *時便將這棵以x爲根的子樹拍扁重構。

替罪羊樹的基本操作和普通二叉樹差不多的，神奇的就在於它的拍扁重構。

假如這有一棵樹（你tm告訴我這是樹？）

雖然不知道它是咋長成這樣的，但是顯然這種結構是要維護的。

於是，我們把它拍扁重構！

完事以後樹的形態變成了這樣

這就是一顆很完美的二叉查找樹了。可以理解爲，噹噹前滿足一定條件時就以它爲跟將它的左右子樹重新建一顆平衡的二叉查找樹。那麼，這個條件是什麼呢？

正如開頭所說，我們可以定義一個常數a（一般爲0.7），噹噹前節點大小小於某個子節點與a的乘積時，就把樹拍扁重構，這個a的取值可以人爲控制，但太大了容易造成二叉樹左右節點不平衡而影響查詢效率，太小了將進行過多的拍扁重構也會影響效率，因此一般a取0.7。

基本操作：

check判斷當前點是否合法：

int check(int p)
{
    if(a[p].w==0)
        return 0;
    if ((a[a[p].lc].s+a[a[p].lc].w>=double(alpha*(a[p].w+a[p].s)))||
        (a[a[p].rc].s+a[a[p].rc].w>=double(alpha*(a[p].w+a[p].s))))return 1;
    return 0;
}

查找節點

int getN(int x)
{
    int now=root;
    while(a[now].n!=x&&a[now].s!=0)
    {
        if(a[now].n>=x)
	    now=a[now].lc;
        else now=a[now].rc;
    }
    return now;
}

拍扁重構：先dfs一遍，找出每個節點在新樹中的編號，並將相關信息儲存。

void dfs(int p)
{
    h[++top]=p;
    if(a[p].lc!=0)
	dfs(a[p].lc);
    if(a[p].w!=0)
	d[++tott].n=a[p].n,
    d[tott].w=a[p].w;
    a[p].s=0;
    if(a[p].rc!=0)
	dfs(a[p].rc);
}

可以看出，這是按從左往右的順序遍歷的，這樣就可以保證新樹的大小順序和原樹是一樣的。之後修改根節點的信息，並從根節點向下修改其子節點的信息。

代碼：

void make(int l,int r,int p,int fa)
{
    int mid=(l+r)/2;
    a[p].fa=fa;
    a[p].w=d[mid].w;
    a[p].n=d[mid].n;
    if(mid-1>=l)
	a[p].lc=getnewp(),make(l,mid-1,a[p].lc,p);
    else a[p].lc=0;
    if(mid+1<=r)
	a[p].rc=getnewp(),make(mid+1,r,a[p].rc,p);
    else a[p].rc=0;
    a[p].s=a[a[p].lc].w+a[a[p].lc].s+a[a[p].rc].w+a[a[p].rc].s;
}
void rebuild(int p)
{
    if(p==0)
	return;
    tott=0;
    dfs(p);
    int now=getnewp();
    a[now].fa=a[p].fa;
    if(p==root)	
	root=now;
    int mid=(1+tott)/2;
    if(d[mid].n>a[a[p].fa].n)	
	a[a[p].fa].rc=now;
    else a[a[p].fa].lc=now;
    make(1,tott,now,a[p].fa);
}

插入：替罪羊樹的插入和一般二叉查找樹相同，但當操作完成後，往上回溯時要依次判斷每個節點是否合法，記錄離根節點最近的一個點並拍扁重構，注意把插入結點到根的路徑上所有點的子樹大小加1。

代碼：

void insr(int x,bool rb)
{
    if(root==0)
    {
        root=1;
        a[1].n=x;
        a[1].w++;
        return;
    }
    int now=root;
    while(a[now].s!=0)
    {
        if(x==a[now].n)
        {
            a[now].w++;
            return;
        }
        if(x>a[now].n&&a[now].rc==0)
            break;
        if(x<a[now].n&&a[now].lc==0)
            break;
        a[now].s++;
        if(x>a[now].n)
            now=a[now].rc;
        else if(x<a[now].n)
            now=a[now].lc;
    }
    if(x==a[now].n)
    {
        a[now].w++;
        return;
    }
    a[now].s++;
    int tmp=now;
    if(x>a[now].n)
        now=a[now].rc=++tot;
    else if(x<a[now].n)
        now=a[now].lc=++tot;
    a[now].w++;
    a[now].n=x;
    if(tmp!=now)
        a[now].fa=tmp;
    int chk=0;
    while(now!=root)
    {
        now=a[now].fa;
        if(check(now))
            chk=now;
    }
    if(rb)
        rebuild(chk);
}

刪除：刪除操作基本沒啥技術含量，找到要刪的點把他的個數減1就好了，注意還要把它到跟上的路徑所有點的子樹大小減1。

代碼：

void delt(int p)
{
    a[p].w--;
    int chk=0;
    while(p!=root)
    {
        p=a[p].fa;
        a[p].s--;
    }
}

查找某一節點的排名：找到該點在序列中的編號並往上跳，如果改點爲父親節點的右兒子，直接加上父親結點的左兒子的大小和個數，注意查到根節點時要把答案加1（想想爲什麼）。

代碼：

int XgetRk(int x)
{
    int p=getN(x),ans;
    ans=a[a[p].lc].s+a[a[p].lc].w;
    while(p!=root)
	{
        if(a[a[p].fa].rc==p)
			ans+=a[a[a[p].fa].lc].s+a[a[a[p].fa].lc].w+a[a[p].fa].w;
        p=a[p].fa;
    }
    return ans+1;
}

查找某節點的值：跟正常操作一樣，直接上代碼。

代碼：

int RkgetX(int x)
{
    int now=root;
    while(true)
	{
        int lcS=a[a[now].lc].s+a[a[now].lc].w;
        if(x<=lcS)now=a[now].lc;
        else if(x>lcS&&x<=a[now].w+lcS)
			return a[now].n;
        else x-=lcS+a[now].w,now=a[now].rc;
        if(x==0)
			return a[now].fa;
    }
}

查前驅後繼：這個操作比較神奇。以前驅爲例，先插入一個值爲x的節點，查找他的排名tmp，再把這個節點刪了，查找tmp-1點的值。

代碼：

int suc(int x)
{
    insr(x+1,0);
    int tmp=XgetRk(x+1),nx=getN(x+1);
    delt(nx);
    return RkgetX(tmp);
}
int pre(int x)
{
    insr(x,0);
    int tmp=XgetRk(x);
    delt(getN(x));
    return RkgetX(tmp-1);
}

整體代碼（洛谷3369）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define alpha 0.7
using namespace std;
struct ScapeGoatTree{
    int lc,rc,n,w,s,fa;
}a[100010];
struct REbuild{
    int n,w;
}d[100010];
void rebuild(int p);
int tot=1,tott=0,top=0,h[100010],n,T,X,root;
int check(int p)
{
    if(a[p].w==0)
		return 0;
    if ((a[a[p].lc].s+a[a[p].lc].w>=double(alpha*(a[p].w+a[p].s)))||
        (a[a[p].rc].s+a[a[p].rc].w>=double(alpha*(a[p].w+a[p].s))))return 1;
    return 0;
}
int getN(int x)
{
    int now=root;
    while(a[now].n!=x&&a[now].s!=0)
	{
        if(a[now].n>=x)
			now=a[now].lc;
        else now=a[now].rc;
    }
    return now;
}
void insr(int x,bool rb)
{
    if(root==0)
	{
        root=1;
        a[1].n=x;
        a[1].w++;
        return;
    }
    int now=root;
    while(a[now].s!=0)
	{
        if(x==a[now].n)
		{
            a[now].w++;
            return;
        }
        if(x>a[now].n&&a[now].rc==0)break;
        if(x<a[now].n&&a[now].lc==0)break;
        a[now].s++;
        if(x>a[now].n)now=a[now].rc;
        else if(x<a[now].n)now=a[now].lc;
    }

    if(x==a[now].n)
	{
        a[now].w++;
        return;
    }
    a[now].s++;
    int tmp=now;
    if(x>a[now].n)
		now=a[now].rc=++tot;
    else if(x<a[now].n)
		now=a[now].lc=++tot;
    a[now].w++;
    a[now].n=x;
    if(tmp!=now)
		a[now].fa=tmp;
    int chk=0;
    while(now!=root)
	{
        now=a[now].fa;
        if(check(now))
			chk=now;
    }
    if(rb)
		rebuild(chk);
}
int getnewp()
{
    if(top>0)
	{
        top--;
        return h[top+1];
    }
    else return ++tot;
}
void dfs(int p)
{
    h[++top]=p;
    if(a[p].lc!=0)
		dfs(a[p].lc);
    if(a[p].w!=0)
		d[++tott].n=a[p].n,
    d[tott].w=a[p].w;
    a[p].s=0;
    if(a[p].rc!=0)
		dfs(a[p].rc);
}
void make(int l,int r,int p,int fa)
{
    int mid=(l+r)/2;
    a[p].fa=fa;
    a[p].w=d[mid].w;
    a[p].n=d[mid].n;
    if(mid-1>=l)
		a[p].lc=getnewp(),make(l,mid-1,a[p].lc,p);
	else a[p].lc=0;
    if(mid+1<=r)
		a[p].rc=getnewp(),make(mid+1,r,a[p].rc,p);
	else a[p].rc=0;
    a[p].s=a[a[p].lc].w+a[a[p].lc].s+a[a[p].rc].w+a[a[p].rc].s;
}
void rebuild(int p)
{
    if(p==0)
		return;
    tott=0;
    dfs(p);
    int now=getnewp();
    a[now].fa=a[p].fa;
    if(p==root)	
		root=now;
    int mid=(1+tott)/2;
    if(d[mid].n>a[a[p].fa].n)	
		a[a[p].fa].rc=now;
    else a[a[p].fa].lc=now;
    make(1,tott,now,a[p].fa);
}
void delt(int p)
{
    a[p].w--;
    int chk=0;
    while(p!=root)
	{
        p=a[p].fa;
        a[p].s--;
    }
}
int XgetRk(int x);
int RkgetX(int x);
int suc(int x)
{
    insr(x+1,0);
    int tmp=XgetRk(x+1),nx=getN(x+1);
    delt(nx);
    return RkgetX(tmp);
}
int pre(int x)
{
    insr(x,0);
    int tmp=XgetRk(x);
    delt(getN(x));
    return RkgetX(tmp-1);
}
int XgetRk(int x)
{
    int p=getN(x),ans;
    ans=a[a[p].lc].s+a[a[p].lc].w;
    while(p!=root)
	{
        if(a[a[p].fa].rc==p)
			ans+=a[a[a[p].fa].lc].s+a[a[a[p].fa].lc].w+a[a[p].fa].w;
        p=a[p].fa;
    }
    return ans+1;
}
int RkgetX(int x)
{
    int now=root;
    while(true)
	{
        int lcS=a[a[now].lc].s+a[a[now].lc].w;
        if(x<=lcS)now=a[now].lc;
        else if(x>lcS&&x<=a[now].w+lcS)
			return a[now].n;
        else x-=lcS+a[now].w,now=a[now].rc;
        if(x==0)
			return a[now].fa;
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
	{
        if(i%1000==0)
		{
            int ttott;
            ttott++;
        }
        scanf("%d%d",&T,&X);                                                        
        if(T==1)insr(X,1);  
        else if(T==2)delt(getN(X));
        else if(T==3)printf("%d\n",XgetRk(X));
        else if(T==4)printf("%d\n",RkgetX(X));
        else if(T==5)printf("%d\n",pre(X));
        else if(T==6)printf("%d\n",suc(X)); 
    }   
}