聚类算法：Affinity Propogation算法学习指南！

Affinity Propogation最初是由Brendan Frey 和 Delbert Dueck于2007年在Science上提出的。相比其它的聚类算法，Affinity Propogation算法不需要预先指定聚类个数。

Affinity Propogation算法的原理可以简单的概括为：每一个数据点都会给其它的多有点发送信息，告知其它所有点每个目标对发送者（sender）的相对吸引力的目标值（target）。

随后，鉴于从所有其它sender收到信息的“attractiveness”，每个target所有sender一个回复，以告知与sender相联系的每一个sender的可用性。sender会给target回复相关信息，以告知每一个target对sender修正的相对“attractiveness”（基于从所有target收到的关于可用性的信息）。信息传递的整个过程直到达成一致才会停止。

一旦sender与某个target相联系，这个target就会称为该点（sender）的“典型代表（exemplar）”。所有被相同exemplar标记的点都被放置在一个聚类中。

算法

假定一个如下的数据集。每一个参与者代表一个五维空间的数据点。

相似性矩阵（C）

除了在对角线上的元素外，其它的元素是负的均方误差作为两个数据间的相似值。计算公式如下：
$c(i, j) = -||X_i-X_y||^2$
以Alice和Bob为例，两者间的相似性计算过程如下：
$(3-4)^2+(4-3)^2+(3-5)^2+(2-1)^2+(1-1)^2 = 7$
因此，Alice与Bob之间的相似值为-7。

相似性值的计算边界出现在Bob和Edna间：
$(4-1)^2+(3-1)^2+(5-3)^2+(1-2)^2+(1-3)^2 = 22$
Bob和Edna之间的相似值为-22。

通过逐步的计算，最后得到的结果如下：

一般对角线上的元素取相似值中较小的数，在本例中取值为-22，因此，得到的相似性矩阵如下：

Responsibility Matrix ®

这里的responsibility matrix 是中间的过度步骤。通过使用如下的公式计算responsibility matrix：
$r(i, k ) \leftarrow s(i, k)- max_{k^{'} such\ that\ k^{'} \not= \ k} \{a(i, k^{'})+s(i, k^{'})\},$
其中，i表示协同矩阵的行，k表示列的关联矩阵。

例如，$r(Alice, Bob)$的值为-1， 首先提取similarity matrix中$c(Alice, Bob)$的值为-7， 减去similarity matrix中Alice行的最大值为-6，因此，得到$r(Alice, Bob)=-1$。

取值的边界为$r(Cary, Doug)$，其计算如下：

$r(Cary, Doug) = -18-(-6)=-12$

根据上述公式计算得到的最终结果如下图所示：

Availability Matrix (a)

Availability Matrix的初始值为矩阵中的所有元素均为0。

首先，计算对角线上的元素值：
$a(k,k) \leftarrow \sum_{i^{'}such \ that \ i^{'} \not= k} max\{0, r\{i^{'}, k\}\},$
其中，i表示协同矩阵的行，k表示协同矩阵的列。

实际上，上面的公式只告诉你沿着列，计算所有行与0比较的最大值（除列序与行序相等时的情况除外）。例如，$a(Alice, Alice)$的计算如下：
$a(Alice, Alice) = 10+11+0+0 = 21$
其次，计算非对角线上的元素值，分别以$a(Alice, Cary)$和$a(Doug, Edna)$为例，其计算过程如下所示：

$a(Alice, Cary) = 1+0+0+0 = 1 \\ a(Doug, Edna) = 0+0+0+9 = 9$
以下公式是用于更新Availability Matrix，其公式如下：
$a(i, k) \leftarrow min\{0, r(k,k)+\sum_{i^{'} such \ that \ i^{'} \notin \{i, k\}} max{\{0, r(i^{'}, k)}\}\}$
当你想要更新$a(Alice, Bob)$的值时，其计算过程如下：
$a(Doug, Bob) = min\{{0,(-15)+0+0+0}\}=-15$
最后得到的结果如下表所示：

Criterion Matrix ©

在得到上面的availability matrix后，将availability matrix和responsibility matrix的对应元素相加，便可得到criterion matrix。

其计算公式如下：
$c(i, k) \leftarrow r(i,k)+a(i,k).$
最后得到的criterion matrix的结果如下：

以上便是Affinity Propogation算法的计算过程，这是我见过最浅显易懂的讲解了，详见原文。

代码示例如下：

首先，导入相关库：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs
from sklearn.cluster import AffinityPropagation

使用scikit-learn生成需要的数据集，详见如下：

X, clusters = make_blobs(n_samples=300, centers=4, cluster_std=0.60, random_state=0)
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], alpha=0.7, edgecolors='b') 

训练模型（因为是无监督算法，因此不需要拆分训练集和测试集）：

af = AffinityPropagation(preference=-50)
clustering = af.fit(X) 

最后，将不同聚类的点可视化：

plt.scatter(X[:,0], X[:,1], 
c=clustering.labels_, cmap='rainbow', alpha=0.7, 
edgecolors='b') 

算法使用场景：

Affinity Propagation是一个无监督的机器学习算法，它尤其适用于那些不知道最佳聚类数情况的算法。