leetcode123-買賣股票的最佳時機 III

給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定的股票在第 i 天的價格。

設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你最多可以完成 兩筆 交易。

注意: 你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

示例 1:

輸入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
輸出: 6
解釋: 在第 4 天（股票價格 = 0）的時候買入，在第 6 天（股票價格 = 3）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 3-0 = 3 。
     隨後，在第 7 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 8 天 （股票價格 = 4）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 4-1 = 3 。

示例 2:

輸入: [1,2,3,4,5]
輸出: 4
解釋: 在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天 （股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接連購買股票，之後再將它們賣出。   
     因爲這樣屬於同時參與了多筆交易，你必須在再次購買前出售掉之前的股票。

示例 3:

輸入: [7,6,4,3,1] 
輸出: 0 
解釋: 在這個情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤爲 0。

一、思路

（一）動態規劃

羅列這道題目中所有的狀態：

• 天數，用i表示
• 交易次數，用k表示
• 股票持有狀態，用j表示

羅列本題中，在某一天中所能進行的操作：

• buy，購買股票
• sell，出售股票
• rest，保持原來的持股狀態

注意，部分操作是有條件的，buy操作只能在未持股的條件下進行，sell操作只能在持股條件下進行

1、狀態轉移框架

建立狀態轉移表$dp[i][k][j]$

• i：表示第i天
• k：表示當前已經交易過k次了
• j：表示持有股票的狀態

所以我們需要計算的答案是：$dp[n - 1][2][0]$

2、狀態轉移方程

（1）狀態轉移方程

• $dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])$
  $dp[i][k][0]$表示：在第i天，已經交易過k次，未持股狀態下，所能得到的最大利潤
  那麼這個狀態（i，k，0）是怎麼得出來的呢？
  從持股狀態分析：
  （1）要麼昨天也沒有持股，並且執行rest操作；
  （2）要麼昨天持有股票，執行sell操作，交易包括buy與sell，這裏只在buy的時候計入交易次數。
• $dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])$
  $dp[i][k][1]$表示：在第i天，已經交易過k次，持股狀態下，所能得到的最大利潤
  那麼這個狀態（i，k，1）是怎麼得出來的呢？
  從持股狀態分析：
  （1）要麼昨天也持股，並且執行rest操作；
  （2）要麼昨天未持股，執行buy操作，交易包括buy與sell，這裏只在buy的時候計入交易次數。

（2）如何初始化

第0天的狀態：

• 從天數上看，第0天之前，我們認爲利潤爲0，不持股，只有一種狀態，即：$dp[-1] = 0, prices[-1] = 0$
• 從交易次數上看，顯然是0次，注意：這裏的k表示之前交易的次數，如果今天發生交易，不會計算在內
• 從持股狀態上看：要麼持股（今天購買，不計入今天的交易次數）；要麼不持股
• 從操作上看：要麼rest；要麼buy（不可能sell）。

請注意持股狀態直接受操作的影響
因爲第-1天的狀態只有一個，可執行的操作只有2個，因此得第0天狀態只有2個。

但是第0天之前真的不能發生交易嗎？
我們可以假設，能發生交易，買了之後馬上賣掉，利潤爲0，就當損失了一次交易機會。

根據上述分析，我們知道如下信息：

dp[0][0][0] = 0
dp[0][1][0] = 0
dp[0][2][0] = 0
dp[0][0][1] = -prices[0]
dp[0][1][1] = -prices[0]
dp[0][2][1] = -prices[0]

C++代碼：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if(prices.size() == 0 || prices.size() == 1)
            return 0;
        vector<vector<vector<int>>> dp(prices.size(), vector<vector<int>>(3, vector<int>(2, 0)));
        // 第0天的初始化
        dp[0][0][0] = 0;
        dp[0][0][1] = -prices[0];
        dp[0][1][0] = 0;
        dp[0][1][1] = -prices[0];
        dp[0][2][0] = 0;
        dp[0][2][1] = -prices[0];
        for(int i=1; i < prices.size(); i++){
            dp[i][0][0] = dp[i - 1][0][0];
            dp[i][0][1] = dp[i - 1][0][1];
            dp[i][1][0] = max(dp[i - 1][1][1] + prices[i], dp[i - 1][1][0]);
            dp[i][1][1] = max(dp[i - 1][0][0] - prices[i], dp[i - 1][1][1]);
            dp[i][2][0] = max(dp[i - 1][2][1] + prices[i], dp[i - 1][2][0]);
            dp[i][2][1] = max(dp[i - 1][1][0] - prices[i], dp[i - 1][2][1]);
        }
        return dp[prices.size() - 1][2][0];
    }
};