題目：BZOJ - 5028
題解：
擴展裴蜀定理+差分+線段樹
求從l到r的最小能得到的油量就是求l~r範圍內a[i]的gcd
由性質gcd(a,b)=gcd(a,b-a)可得區間gcd可變爲:
gcd( a[l], a[l+1], a[l+2],..., a[r] ) = gcd( a[l], a[l+1] - a[l] , a[l+2] - a[l+1] ,..., a[r] - a[r-1] )。
下面談談如何證明：
由於 gcd 的性質：
gcd(a, b) = gcd(a, a-b) 其中 a > b;
簡單證明：
令 d = gcd(a, b);
a = d*t1; b = d*t2;
兩式相減：a-b = d*(t1-t2)，所以 gcd(a, a-b) = d
這樣對[L, R]區間加， 只要L處加， R+1處減就可以了。
下面再談談爲什麼只要處理L處加，R+1處減：
gcd(a1, a2 - a1, a3 - a2, a4 - a3, a5 - a4)
因爲當對a1, a2, ….a4（L=1,R=4）處加v時， a1加上了v, 第二項(a2+v) - (a1+v)是不變的，(a3+v) - (a2+v)，(a4+v) - (a3+v)也是不變，的，a5 - (a4+v)會少了一個（-v），所以就是說中間的差分是不變的，兩頭的差分需要更改，那麼就要在L處增加一個v，R+1處需要加上一個（-v），這樣就實現了L~R的增加操作，因爲我求的是差分的gcd，中間的值不會變就不需要更改了
當我們求gcd(l, l + 1, …r）的時候，只要求gcd(al, a(l+1) - al, a(l + 2) - a(l +1) ….ar - a(r - 1));
所以我們求gcd[l, r]只需要分佈求，先求得gcd[l + 1, r]，再求1~l的和，因爲1~l的差分和就是al。
（比如說：L=3：a1，a2-a1,a3-a2，那麼a3的值就是前1~l的差分和）
所以總的看來，我這個題目只需要維護的就是區間的gcd跟和，然後區間更新L跟R+1位置的差分值，查詢1~L的差分和，查詢L+1~R的差分gcd，再求這兩個的gcd即可
代碼：
#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define L node<<1
#define R node<<1|1
using namespace std;
int n,m;
int a[N];
struct ljh
{
int sum,g,l,r;
}e[N<<2];
int gcd(int a,int b)
{
return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}
void pushup(int node)
{
e[node].sum=(e[L].sum+e[R].sum);
e[node].g=gcd(e[L].g,e[R].g);
}
void build(int node,int l,int r)
{
e[node].l=l;
e[node].r=r;
if(l==r)
{
e[node].g=e[node].sum=a[l];
return ;
}
int m=(l+r)>>1;
build(L,l,m);
build(R,m+1,r);
pushup(node);
}
void update(int node,int pos,int k)
{
if(e[node].l==e[node].r)
{
e[node].g+=k;
e[node].sum+=k;
return ;
}
int m=(e[node].l+e[node].r)>>1;
if(pos<=m)update(L,pos,k);
else update(R,pos,k);
pushup(node);
}
int query_g(int node,int x,int y)
{
int ans=0;
if(x<=e[node].l&&e[node].r<=y)
{
return e[node].g;
}
int m=(e[node].l+e[node].r)>>1;
if(x<=m)ans=gcd(ans,query_g(L,x,y));
if(y>m)ans=gcd(ans,query_g(R,x,y));
return ans;
}
int query_s(int node,int x,int y)
{
int ans=0;
if(x<=e[node].l&&e[node].r<=y)
{
return e[node].sum;
}
int m=(e[node].l+e[node].r)>>1;
if(x<=m)ans+=query_s(L,x,y);
if(y>m)ans+=query_s(R,x,y);
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(int i=n;i>=2;i--)a[i]-=a[i-1];
build(1,1,n);
while(m--)
{
int op,x,y,z;
scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
if(op==1)
{
printf("%d\n",gcd(query_g(1,x+1,y),query_s(1,1,x)));
}
else
{
scanf("%d",&z);
update(1,x,z);
if(y<n)update(1,y+1,-z);
}
}
}